\int_{1}^{2} \frac{5 x^{3}+7 x^{2}-5 x+2}{x^{2}} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular o valor do integral definido
\int_{1}^{2} \frac{5 x^{3}+7 x^{2}-5 x+2}{x^{2}}\,dx.
Informações que temos do enunciado:
\text{intervalo de integração: }[1,2],çã
\text{integrando: } \frac{5 x^{3}+7 x^{2}-5 x+2}{x^{2}}.
Objetivo claro: encontrar o número real que é o valor desse integral definido.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por x^{2}. Isso usa a regra das potências: ao dividir x^{a} por x^{b} obtemos x^{a-b}. Aplicando termo a termo:
\frac{5x^{3}}{x^{2}}=5x^{3-2}=5x,
\frac{7x^{2}}{x^{2}}=7x^{2-2}=7,
\frac{-5x}{x^{2}}=-5x^{1-2}=-5x^{-1},
\frac{2}{x^{2}}=2x^{-2}.
Portanto o integrando fica
\frac{5 x^{3}+7 x^{2}-5 x+2}{x^{2}} = 5x + 7 -5x^{-1} + 2x^{-2}.
Assim reescrevemos o integral como soma de termos mais simples:
\int_{1}^{2}\big(5x + 7 -5x^{-1} + 2x^{-2}\big)\,dx.

Passo 3

Agora a teoria necessária (curtinha e prática) para integrar termo a termo:
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int (a f(x)+ b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx. Isso permite separar a integral em somas.
  • Regra da potência (para integração): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é constante de integração. Aqui x é a variável de integração e n é um número (expoente).
  • Caso especial n=-1: \displaystyle \int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • Para constantes multiplicativas: \int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx.
Exemplo rápido para fixar: \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C porque n=2 e aplicamos a regra da potência.

Passo 4

Aplicando as regras para cada termo do integrando:
  • \displaystyle \int 5x\,dx = 5\int x\,dx = 5\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{5}{2}x^{2}.
  • \displaystyle \int 7\,dx = 7x.
  • \displaystyle \int -5x^{-1}\,dx = -5\int x^{-1}\,dx = -5\ln|x|.
  • \displaystyle \int 2x^{-2}\,dx = 2\int x^{-2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -2x^{-1} = -\frac{2}{x}.
Somando as primitivas (antiderivadas) obtemos uma função F(x) tal que F'(x) é o integrando:
F(x) = \frac{5}{2}x^{2} + 7x -5\ln|x| - \frac{2}{x}.
Como estamos em x\in[1,2] podemos tirar as barras de |x| porque x>0, então \ln|x|=\ln x.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: o valor do integral definido é F(2)-F(1).
Calculemos F(2):
F(2)=\frac{5}{2}\cdot 2^{2} + 7\cdot 2 -5\ln 2 - \frac{2}{2}.
Passo a passo:
\frac{5}{2}\cdot 2^{2} = \frac{5}{2}\cdot 4 = 10,
7\cdot 2 = 14,
-\frac{2}{2} = -1.
Somando os termos não logarítmicos: 10+14-1=23. Logo
F(2) = 23 -5\ln 2.
Calculemos F(1):
F(1)=\frac{5}{2}\cdot 1^{2} + 7\cdot 1 -5\ln 1 - \frac{2}{1}.
Sabendo que \ln 1 = 0, temos:
F(1)=\frac{5}{2} + 7 - 0 - 2 = \frac{5}{2} +5 = \frac{15}{2}.

Passo 6

Subtraindo:
\int_{1}^{2} \frac{5 x^{3}+7 x^{2}-5 x+2}{x^{2}}\,dx = F(2)-F(1) = \big(23 -5\ln 2\big) - \frac{15}{2}.
Compute a parte racional:
23 - \frac{15}{2} = \frac{46}{2} - \frac{15}{2} = \frac{31}{2}.
Portanto o resultado final é
\frac{31}{2} - 5\ln 2.
Bom trabalho! Você conseguiu decompor, usar a regra da potência e avaliar nos limites. Se quiser, a gente faz um exercício parecido com números diferentes para praticar.

Resposta

\frac{31}{2} - 5\ln 2

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