( 30 pontos) Considere a função
g(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<1 \\\ t, & 1 \leq t<3 \\\\ 7-2 t, & 3 \leq t<3.5 \\\\ 0, & t \geq 3.5\end{cases}
a) ( 10 pontos) Faça o gráfico da função g(t).
b) ( 10 pontos) Descreva a função g(t) com o auxílio de funções degraus apropriadas.
c) ( 10 pontos) Calcule a transformada de Laplace da função g(t).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
g(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<1 \\\ t, & 1 \leq t<3 \\\\ 7-2 t, & 3 \leq t<3.5 \\\\ 0, & t \geq 3.5\end{cases}
e pede três coisas:
  1. (a) Fazer o gráfico de g(t).
  2. (b) Descrever g(t) usando funções degrau (função unit step deslocada).
  3. (c) Calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{g\}(s).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar:
  • Os intervalos onde g tem cada expressão estão explicitados: [0,1), [1,3), [3,3{,}5) e [3{,}5,\infty).
  • Em cada intervalo g é uma função simples (constante ou linear), então posso traçar segmentos de reta ou horizontais e integrar peça a peça para a Laplace.
  • Em t=1 e t=3{,}5 as expressões coincidem (continuidade em t=1 e em t=3{,}5); em t=3 há um salto (valor à direita é 1, à esquerda tende a 3).

Passo 2

Como fazer o gráfico passo a passo (para que você desenhe na prova sem erro):
  • Para 0\le t<1: g(t)=1. É uma linha horizontal em altura 1 entre t=0 e t=1. Em t=0 o valor é 1 (incluso), em t=1 a porção 0\le t<1 não inclui 1, mas a peça seguinte dá o mesmo valor, então no gráfico o ponto em t=1 fica preenchido em g(1)=1.
  • Para 1\le t<3: g(t)=t. É uma reta com inclinação 1 que parte em (1,1) e sobe até aproximar-se de (3,3) (mas o intervalo é até 3 sem incluir o 3 nessa peça).
  • Em t=3: comece a usar a peça 3\le t<3{,}5 que dá g(t)=7-2t. Em t=3 essa fórmula dá g(3)=7-2\cdot3=1. Portanto há um salto: à esquerda a função tende a 3, à direita o valor em 3 é 1. No gráfico, desenhe um ponto aberto próximo a t=3 na altura 3 (limite pela esquerda) e um ponto preenchido em (3,1).
  • Para 3\le t<3{,}5: g(t)=7-2t é uma reta decrescente; em t=3{,}5 essa expressão vale 7-2\cdot3{,}5=0.
  • Para t\ge 3{,}5: g(t)=0. A partir de 3{,}5 a função fica no eixo t, com o ponto em t=3{,}5 sendo 0 (a peça anterior dá 0 em 3{,}5, então é contínua aí).
Resumo dos pontos-chave para desenhar:
  • Segmento horizontal em y=1 para 0\le t\le1.
  • Reta y=t de t=1 até t\to3^- (valor aproximando-se de 3).
  • Salto em t=3 para y=1.
  • Reta decrescente y=7-2t em 3\le t\le3{,}5 que atinge 0 em t=3{,}5.
  • Depois de t\ge3{,}5 valor 0.

Passo 3

Apresentação de como escrever g(t)\) com funções degrau (função unit step). Primeiro, defino a função degrau deslocada: \[u_a(t)\equiv u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\\\ 1,&t\ge a.\end{cases}
(Aqui uso a notação u(t-a)\] para o degrau que "liga" em \(t=a.)
Uma forma direta de montar g(t) é multiplicar cada expressão pelo degrau apropriado que a ativa naquele intervalo, usando diferenças de degraus para limitar o intervalo. Assim:
g(t)=1\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr)+t\bigl(u(t-1)-u(t-3)\bigr)+(7-2t)\bigl(u(t-3)-u(t-3{,}5)\bigr).
Explicação da construção (passo a passo):
  • 1\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr) vale 1 para 0\le t<1 (assumindo u(t)=1 para t\ge0) e zero fora desse intervalo.
  • t\bigl(u(t-1)-u(t-3)\bigr) vale t apenas para 1\le t<3.
  • (7-2t)\bigl(u(t-3)-u(t-3{,}5)\bigr) vale 7-2t só em 3\le t<3{,}5.
  • Para t\ge3{,}5 todas as três diferenças são zero, ficando g(t)=0.
Observação didática: essa é a forma padrão em exercícios de laplace por partes — você “liga” cada expressão na sua faixa usando u(t-a) e apaga depois com outro degrau.

Passo 4

Agora vamos calcular a transformada de Laplace de g(t). Primeiro recordo a definição e a técnica que usarei.
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) definida para t\ge0,
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa com parte real suficientemente grande (na prática aqui consideramos s>0 para garantir convergência nas integrais que faremos).
Como g é dada por partes em intervalos finitos, vou calcular a Laplace somando as integrais sobre cada pedaço:
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{1} 1\;e^{-s t}\,dt+\int_{1}^{3} t\;e^{-s t}\,dt+\int_{3}^{3{,}5} (7-2t)\;e^{-s t}\,dt.

Passo 5

Calcule a primeira integral:
I_1=\int_{0}^{1} e^{-s t}\,dt.
Integral direta:
\int e^{-s t}\,dt=-\frac{1}{s}e^{-s t}+C.
Aplicando os limites 0 a 1:
I_1=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{1}=-\frac{1}{s}e^{-s}+\frac{1}{s}=\frac{1-e^{-s}}{s}.

Passo 6

Calcule a segunda integral usando integração por partes:
I_2=\int_{1}^{3} t\,e^{-s t}\,dt.
Faço integração por partes com u=t e dv=e^{-s t}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. A fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du dá o antiderivado
\int t e^{-s t}\,dt = -\frac{t e^{-s t}}{s} - \frac{e^{-s t}}{s^2} + C.
Agora avalio de 1 a 3:
I_2=\left[-\frac{t e^{-s t}}{s} - \frac{e^{-s t}}{s^2}\right]_{1}^{3} = \left(-\frac{3 e^{-3s}}{s} - \frac{e^{-3s}}{s^2}\right) - \left(-\frac{1 e^{-s}}{s} - \frac{e^{-s}}{s^2}\right).
Organizando:
I_2 = e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr) - e^{-3s}\Bigl(\frac{3}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr).

Passo 7

Calcule a terceira integral. Primeiro encontro um antiderivado de (7-2t)e^{-st}:
I_3=\int_{3}^{3{,}5} (7-2t)e^{-s t}\,dt.
Decompõe-se:
\int (7-2t)e^{-s t}\,dt = 7\int e^{-s t}\,dt -2\int t e^{-s t}\,dt.
Já vimos as primitivas anteriores. Usando \int e^{-s t}\,dt = -\dfrac{1}{s}e^{-s t} e \int t e^{-s t}\,dt = -\dfrac{t e^{-s t}}{s} - \dfrac{e^{-s t}}{s^2}, obtemos
\int (7-2t)e^{-s t}\,dt = -\frac{7}{s}e^{-s t} + \frac{2t e^{-s t}}{s} + \frac{2 e^{-s t}}{s^2} + C.
Agora avalio entre t=3 e t=3{,}5:
I_3=\left[-\frac{7}{s}e^{-s t} + \frac{2t}{s}e^{-s t} + \frac{2}{s^2}e^{-s t}\right]_{3}^{3{,}5}.
Calculo os termos com cuidado. Em t=3{,}5 o coeficiente -7+2t é -7+7=0, então os dois primeiros termos se cancelam lá e só sobra o termo em 1/s^2:
\text{em }t=3{,}5:\quad -\frac{7}{s}e^{-3{,}5s}+\frac{2\cdot3{,}5}{s}e^{-3{,}5s}+\frac{2}{s^2}e^{-3{,}5s}=\frac{2}{s^2}e^{-3{,}5s}.
Em t=3:
-\frac{7}{s}e^{-3s}+\frac{2\cdot3}{s}e^{-3s}+\frac{2}{s^2}e^{-3s}=\left(-\frac{7}{s}+\frac{6}{s}\right)e^{-3s}+\frac{2}{s^2}e^{-3s}=-\frac{1}{s}e^{-3s}+\frac{2}{s^2}e^{-3s}.
Subtraindo:
I_3=\frac{2}{s^2}e^{-3{,}5s}-\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-3s}+\frac{2}{s^2}e^{-3s}\Bigr) =\frac{1}{s}e^{-3s}+\frac{2}{s^2}\bigl(e^{-3{,}5s}-e^{-3s}\bigr).

Passo 8

Agora somo as três integrais para obter \mathcal{L}\{g\}(s):
\mathcal{L}\{g\}(s)=I_1+I_2+I_3.
Substituindo I_1,I_2,I_3:
\mathcal{L}\{g\}(s)=\frac{1-e^{-s}}{s} +e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr) -e^{-3s}\Bigl(\frac{3}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr) +\frac{1}{s}e^{-3s}+\frac{2}{s^2}\bigl(e^{-3{,}5s}-e^{-3s}\bigr).
Agora simplifico termo a termo. Observe que -\dfrac{e^{-s}}{s}+\dfrac{e^{-s}}{s}=0, então os termos em e^{-s}/s se cancelam. Reunindo os restantes:
\mathcal{L}\{g\}(s)=\frac{1}{s}+\frac{e^{-s}}{s^2}-e^{-3s}\Bigl(\frac{2}{s}+\frac{3}{s^2}\Bigr)+\frac{2}{s^2}e^{-3{,}5s}.
Essa é uma forma limpa e explícita da transformada.

Resposta

(a) Gráfico: g(t)=1 para 0\le t<1 (segmento horizontal em y=1), g(t)=t para 1\le t<3 (reta crescente de (1,1) até aproximar (3,3)), salto em t=3 para g(3)=1, g(t)=7-2t em 3\le t<3{,}5 (reta decrescente que vai a 0 em t=3{,}5), e g(t)=0 para t\ge3{,}5.
(b) Em degraus:
g(t)=1\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr)+t\bigl(u(t-1)-u(t-3)\bigr)+(7-2t)\bigl(u(t-3)-u(t-3{,}5)\bigr).
(c) Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{g\}(s)=\frac{1}{s}+\frac{e^{-s}}{s^2}-e^{-3s}\Bigl(\frac{2}{s}+\frac{3}{s^2}\Bigr)+\frac{2}{s^2}e^{-3{,}5s}.

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