a) ( 10 pontos) Faça o gráfico da função g(t).
b) ( 10 pontos) Descreva a função g(t) com o auxílio de funções degraus apropriadas.
c) ( 10 pontos) Calcule a transformada de Laplace da função g(t).
(b) Descrever g(t) usando funções degrau (função unit step deslocada).
(c) Calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{g\}(s).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar:
Os intervalos onde g tem cada expressão estão explicitados: [0,1), [1,3), [3,3{,}5) e [3{,}5,\infty).
Em cada intervalo g é uma função simples (constante ou linear), então posso traçar segmentos de reta ou horizontais e integrar peça a peça para a Laplace.
Em t=1 e t=3{,}5 as expressões coincidem (continuidade em t=1 e em t=3{,}5); em t=3 há um salto (valor à direita é 1, à esquerda tende a 3).
Passo 2
Como fazer o gráfico passo a passo (para que você desenhe na prova sem erro):
Para 0\le t<1: g(t)=1. É uma linha horizontal em altura 1 entre t=0 e t=1. Em t=0 o valor é 1 (incluso), em t=1 a porção 0\le t<1 não inclui 1, mas a peça seguinte dá o mesmo valor, então no gráfico o ponto em t=1 fica preenchido em g(1)=1.
Para 1\le t<3: g(t)=t. É uma reta com inclinação 1 que parte em (1,1) e sobe até aproximar-se de (3,3) (mas o intervalo é até 3 sem incluir o 3 nessa peça).
Em t=3: comece a usar a peça 3\le t<3{,}5 que dá g(t)=7-2t. Em t=3 essa fórmula dá g(3)=7-2\cdot3=1. Portanto há um salto: à esquerda a função tende a 3, à direita o valor em 3 é 1. No gráfico, desenhe um ponto aberto próximo a t=3 na altura 3 (limite pela esquerda) e um ponto preenchido em (3,1).
Para 3\le t<3{,}5: g(t)=7-2t é uma reta decrescente; em t=3{,}5 essa expressão vale 7-2\cdot3{,}5=0.
Para t\ge 3{,}5: g(t)=0. A partir de 3{,}5 a função fica no eixo t, com o ponto em t=3{,}5 sendo 0 (a peça anterior dá 0 em 3{,}5, então é contínua aí).
Resumo dos pontos-chave para desenhar:
Segmento horizontal em y=1 para 0\le t\le1.
Reta y=t de t=1 até t\to3^- (valor aproximando-se de 3).
Salto em t=3 para y=1.
Reta decrescente y=7-2t em 3\le t\le3{,}5 que atinge 0 em t=3{,}5.
Depois de t\ge3{,}5 valor 0.
Passo 3
Apresentação de como escrever g(t)\) com funções degrau (função unit step). Primeiro, defino a função degrau deslocada:
\[u_a(t)\equiv u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\\\ 1,&t\ge a.\end{cases}
(Aqui uso a notação u(t-a)\] para o degrau que "liga" em \(t=a.)
Uma forma direta de montar g(t) é multiplicar cada expressão pelo degrau apropriado que a ativa naquele intervalo, usando diferenças de degraus para limitar o intervalo. Assim:
1\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr) vale 1 para 0\le t<1 (assumindo u(t)=1 para t\ge0) e zero fora desse intervalo.
t\bigl(u(t-1)-u(t-3)\bigr) vale t apenas para 1\le t<3.
(7-2t)\bigl(u(t-3)-u(t-3{,}5)\bigr) vale 7-2t só em 3\le t<3{,}5.
Para t\ge3{,}5 todas as três diferenças são zero, ficando g(t)=0.
Observação didática: essa é a forma padrão em exercícios de laplace por partes — você “liga” cada expressão na sua faixa usando u(t-a) e apaga depois com outro degrau.
Passo 4
Agora vamos calcular a transformada de Laplace de g(t). Primeiro recordo a definição e a técnica que usarei.
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) definida para t\ge0,
onde s é uma variável complexa com parte real suficientemente grande (na prática aqui consideramos s>0 para garantir convergência nas integrais que faremos).
Como g é dada por partes em intervalos finitos, vou calcular a Laplace somando as integrais sobre cada pedaço:
Essa é uma forma limpa e explícita da transformada.
Resposta
(a) Gráfico: g(t)=1 para 0\le t<1 (segmento horizontal em y=1), g(t)=t para 1\le t<3 (reta crescente de (1,1) até aproximar (3,3)), salto em t=3 para g(3)=1, g(t)=7-2t em 3\le t<3{,}5 (reta decrescente que vai a 0 em t=3{,}5), e g(t)=0 para t\ge3{,}5.