Questão 1- Uma fábrica de sorvetes observa que sua demanda mensal segue um padrão sazonal. A demanda mínima é de 500 e ocorre em janeiro (mês
) e a demanda máxima ocorre em julho (mês
). Assuma que a demanda pode ser modelada por uma função sinusoidal
Em que o parâmetro A E IR. Responda os itens abaixo:
a)- Usando
, determine o valor do parâmetro A e obtenha a demanda máxima, que ocorre em julho (
).
b)- Determine os meses em que a demanda mensal é igual a 1000.
c)- Faça um esboço do gráfico de
, indicando também os pontos do gráfico onde ocorrem os valores mínimo e máximo.
a)- Usando
b)- Determine os meses em que a demanda mensal é igual a 1000.
c)- Faça um esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas:
- A função demanda é dada por
onde
é um parâmetro a determinar.
- Informação extra (do enunciado): a demanda mínima é
e ocorre em janeiro, ou seja em . A demanda máxima ocorre em julho, ou seja em .
As perguntas são:
a) Usando , determine o valor do parâmetro
e obtenha a demanda máxima (em
).
b) Determine os meses (valores de entre 1 e 12) em que
.
c) Faça um esboço do gráfico de , indicando os pontos de valor mínimo e máximo.
a) Usando
b) Determine os meses (valores de
c) Faça um esboço do gráfico de
Passo 2
Vamos usar a informação
para achar
.
Primeiro, substituímos
na fórmula:
Lembrando uma propriedade fundamental da função cosseno:
. Então a expressão fica
Pelo enunciado
. Portanto resolvemos
Isolando
:
Conclusão parcial:
. Substituindo de volta, a função fica
Passo 3
Agora vamos encontrar a demanda máxima e o instante em que ela ocorre (o enunciado diz que é em
, vamos confirmar e calcular o valor).
Entenda primeiro a estrutura da função: temos uma função do tipo
Mais concretamente, a amplitude é o coeficiente multiplicando o cosseno em módulo, aqui
, e a «reta média» (midline) é
(o valor de
). Para funções da forma
:
- O menor valor ocorre quando
, pois aí . - O maior valor ocorre quando
, pois aí .
Logo a demanda máxima é
.
Agora determinamos para quais
a expressão interna dá
. Queremos
A condição geral para
é
com
. Assim
Dividindo por
:
Portanto
No intervalo
o único
que satisfaz é
(com
), confirmando que a máxima ocorre em julho e tem valor
.
Passo 4
Resolver
(item b). Substituímos e isolamos:
Queremos
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
:
A condição geral para
é
,
. Então
Multiplicando ambos os lados por
:
ou
No intervalo
as soluções inteiras são:
-
(abril); -
(outubro).
Portanto
nos meses
e
.
Passo 5
Agora vamos analisar e explicar como esboçar o gráfico (item c), passo a passo, para que você consiga desenhar sem calculadora.
Propriedades da função encontrada:
- Midline (reta média):
. É a linha horizontal em torno da qual a função oscila. - Amplitude:
. Isso significa que os valores variam em relação à midline. - Período: para uma função
, o período é . Aqui o coeficiente na variável é , então Isso faz sentido físico: a demanda tem período anual de 12 meses. - Fase/deslocamento horizontal: a expressão
tem zero do cosseno em (pois ). Portanto a função está «centralizada» para que em o cosseno seja (e assim dê o mínimo ). Em outras palavras, há um deslocamento de mês.
Pontos-chave para marcar no esboço (todos fáceis de calcular):
- Mínimo (dado):
, . Marcar o ponto . - Cruzamento com midline (subindo):
, . Marcar . - Máximo:
, . Marcar . - Cruzamento com midline (descendo):
, . Marcar . - Voltando ao mínimo no próximo ciclo:
(fora do intervalo dado, mas indica repetição anual), .
Como desenhar:
- Trace a linha horizontal
. - A partir de
em desenhe uma curva suave subindo até em , passando por em . - Depois a curva desce novamente até
(ou até voltando para perto do valor mínimo), passando por em . - O gráfico é uma cosseno invertido (porque temos
), começando no ponto mais baixo em , com uma onda completa ocorrendo em meses.
Se quiser valores exatos adicionais para avaliar a forma: por exemplo
E
, então
o que indica que em dezembro (
) a demanda está perto do mínimo, como esperado.
Dica final de desenho: marque a midline, depois marque amplitude
para cima e para baixo, posicione os pontos
com as alturas indicadas e conecte suavemente formando uma onda periódica.
Resposta
(a)
. Demanda máxima
(ocorre em
).
(b) e
.
(c) Amplitude , midline
, período
. Pontos principais:
mínimo,
cruzamento,
máximo,
cruzamento.
(b)
(c) Amplitude