Questão 1- Uma fábrica de sorvetes observa que sua demanda mensal segue um padrão sazonal. A demanda mínima é de 500 e ocorre em janeiro (mês t=1 ) e a demanda máxima ocorre em julho (mês t=7 ). Assuma que a demanda pode ser modelada por uma função sinusoidal
D(t)=A-500 \cos \left[\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right], 1 \leq t \leq 12\right.
Em que o parâmetro A E IR. Responda os itens abaixo:
a)- Usando D(1)=500, determine o valor do parâmetro A e obtenha a demanda máxima, que ocorre em julho ( \mathrm{t}=7 ).
b)- Determine os meses em que a demanda mensal é igual a 1000.
c)- Faça um esboço do gráfico de D(t), indicando também os pontos do gráfico onde ocorrem os valores mínimo e máximo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas:
  • A função demanda é dada por
D(t)=A-500\cos\!\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right),\quad 1\le t\le 12,
onde A\in\mathbb{R} é um parâmetro a determinar.
  • Informação extra (do enunciado): a demanda mínima é 500 e ocorre em janeiro, ou seja em t=1. A demanda máxima ocorre em julho, ou seja em t=7.
As perguntas são:
a) Usando D(1)=500, determine o valor do parâmetro A e obtenha a demanda máxima (em t=7).
b) Determine os meses (valores de t entre 1 e 12) em que D(t)=1000.
c) Faça um esboço do gráfico de D(t), indicando os pontos de valor mínimo e máximo.

Passo 2

Vamos usar a informação D(1)=500 para achar A.
Primeiro, substituímos t=1 na fórmula:
D(1)=A-500\cos\!\left(\frac{\pi}{6}(1-1)\right)=A-500\cos(0).
Lembrando uma propriedade fundamental da função cosseno: \cos(0)=1. Então a expressão fica
D(1)=A-500\cdot 1 = A-500.
Pelo enunciado D(1)=500. Portanto resolvemos
A-500=500.
Isolando A:
A=500+500=1000.
Conclusão parcial: A=1000. Substituindo de volta, a função fica
D(t)=1000-500\cos\!\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right).

Passo 3

Agora vamos encontrar a demanda máxima e o instante em que ela ocorre (o enunciado diz que é em t=7, vamos confirmar e calcular o valor).
Entenda primeiro a estrutura da função: temos uma função do tipo
D(t)=\text{(valor médio)} + \text{(amplitude)}\times(-\cos(\cdot)).é
Mais concretamente, a amplitude é o coeficiente multiplicando o cosseno em módulo, aqui 500, e a «reta média» (midline) é 1000 (o valor de A). Para funções da forma 1000-500\cos(\cdot):
  • O menor valor ocorre quando \cos(\cdot)=1, pois aí D=1000-500\cdot 1=500.
  • O maior valor ocorre quando \cos(\cdot)=-1, pois aí D=1000-500\cdot(-1)=1000+500=1500.
Logo a demanda máxima é \;1500.
Agora determinamos para quais t a expressão interna dá \cos(\cdot)=-1. Queremos
\cos\!\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)=-1.
A condição geral para \cos(\theta)=-1 é \theta=\pi+2k\pi com k\in\mathbb{Z}. Assim
\frac{\pi}{6}(t-1)=\pi+2k\pi.
Dividindo por \pi/6:
t-1 = 6 + 12k.
Portanto
t=7+12k.
No intervalo 1\le t\le 12 o único t que satisfaz é t=7 (com k=0), confirmando que a máxima ocorre em julho e tem valor \;1500.

Passo 4

Resolver D(t)=1000 (item b). Substituímos e isolamos:
Queremos
1000-500\cos\!\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)=1000.
Subtraindo 1000 dos dois lados:
-500\cos\!\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)=0.
Dividindo por -500:
\cos\!\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right)=0.
A condição geral para \cos(\theta)=0 é \theta=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Então
\frac{\pi}{6}(t-1)=\frac{\pi}{2}+k\pi.
Multiplicando ambos os lados por 6/\pi:
t-1 = 3 + 6k,
ou
t=4+6k.
No intervalo 1\le t\le 12 as soluções inteiras são:
  • k=0 \Rightarrow t=4 (abril);
  • k=1 \Rightarrow t=10 (outubro).
Portanto D(t)=1000 nos meses t=4 e t=10.

Passo 5

Agora vamos analisar e explicar como esboçar o gráfico (item c), passo a passo, para que você consiga desenhar sem calculadora.
Propriedades da função encontrada:
  • Midline (reta média): \;1000. É a linha horizontal em torno da qual a função oscila.
  • Amplitude: \;500. Isso significa que os valores variam \pm 500 em relação à midline.
  • Período: para uma função \cos(bt), o período é T=\dfrac{2\pi}{b}. Aqui o coeficiente b na variável t é \dfrac{\pi}{6}, então T=\frac{2\pi}{\pi/6}=12.Isso faz sentido físico: a demanda tem período anual de 12 meses.
  • Fase/deslocamento horizontal: a expressão \cos\!\left(\frac{\pi}{6}(t-1)\right) tem zero do cosseno em t=1 (pois \frac{\pi}{6}(1-1)=0). Portanto a função está «centralizada» para que em t=1 o cosseno seja 1 (e assim dê o mínimo 500). Em outras palavras, há um deslocamento de +1 mês.
Pontos-chave para marcar no esboço (todos fáceis de calcular):
  • Mínimo (dado): t=1, D(1)=500. Marcar o ponto (1,500).
  • Cruzamento com midline (subindo): t=4, D(4)=1000. Marcar (4,1000).
  • Máximo: t=7, D(7)=1500. Marcar (7,1500).
  • Cruzamento com midline (descendo): t=10, D(10)=1000. Marcar (10,1000).
  • Voltando ao mínimo no próximo ciclo: t=13 (fora do intervalo dado, mas indica repetição anual), D(13)=500.
Como desenhar:
  • Trace a linha horizontal y=1000.
  • A partir de t=1 em y=500 desenhe uma curva suave subindo até t=7 em y=1500, passando por t=4 em y=1000.
  • Depois a curva desce novamente até t=13 (ou até t=12 voltando para perto do valor mínimo), passando por t=10 em y=1000.
  • O gráfico é uma cosseno invertido (porque temos -\cos), começando no ponto mais baixo em t=1, com uma onda completa ocorrendo em 12 meses.
Se quiser valores exatos adicionais para avaliar a forma: por exemplo
D(12)=1000-500\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\cdot 11\right)=1000-500\cos\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=1000-500\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=1000-500\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
E \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, então
D(12)=1000-500\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=1000-250\sqrt{3}\approx 567,
o que indica que em dezembro ( t=12 ) a demanda está perto do mínimo, como esperado.
Dica final de desenho: marque a midline, depois marque amplitude 500 para cima e para baixo, posicione os pontos t=1,4,7,10 com as alturas indicadas e conecte suavemente formando uma onda periódica.

Resposta

(a) A=1000. Demanda máxima =1500 (ocorre em t=7).
(b) t=4 e t=10.
(c) Amplitude =500, midline =1000, período =12. Pontos principais: (1,500) mínimo, (4,1000) cruzamento, (7,1500) máximo, (10,1000) cruzamento.

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