Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função , especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar). f(x)=\left|x^{2}-x-2\right|
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função e que especifique o domínio, a imagem (conjunto-valor) e, quando possível, a paridade (se é par, ímpar ou nenhuma). A função dada é
f(x)=\left|x^{2}-x-2\right|.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A expressão dentro do valor absoluto é o polinômio \,x^{2}-x-2\,.
Preciso indicar: domínio, imagem e paridade, e também esboçar (descrever) o gráfico.
Passo 2
Vou começar analisando a expressão dentro do valor absoluto. Primeiro fatoro o polinômio:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Isso me diz que as raízes (zeros) da expressão interna são x=-1 e x=2. Esses pontos são onde o conteúdo do valor absoluto é zero e onde pode ocorrer mudança de sinal.
Passo 3
Agora faço análise de sinal da parábola \,x^{2}-x-2\,. Como o coeficiente de x^{2} é positivo (1), a parábola abre para cima. Sabendo as raízes x=-1 e x=2, concluímos:
Para x<-1: x^{2}-x-2>0.
Para -1<x<2: x^{2}-x-2<0.
Para x>2: x^{2}-x-2>0.
Ou seja, a expressão é negativa apenas no intervalo aberto (-1,2) e não-negativa fora dele.
Passo 4
Pelo comportamento do valor absoluto, obtenho uma expressão por partes para f\). A regra é: \(|A|=A\) se \(A\ge0\) e \(|A|=-A\) se \(A<0\). Aplicando a \(A=x^{2}-x-2\):
\[f(x)=\begin{cases} x^{2}-x-2, & x\in(-\infty,-1]\cup[2,\infty)\\[4pt] -(x^{2}-x-2)=-x^{2}+x+2, & x\in[-1,2] \end{cases}
Note que em x=-1\] e \(x=2 ambas as fórmulas dão 0, portanto a função é contínua nesses pontos.]
Passo 5
Vou achar o vértice da parábola original \,y=x^{2}-x-2. A abscissa do vértice é
Logo o vértice da parábola original é \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{9}{4}\right). Como esse vértice está dentro do intervalo onde a expressão interna é negativa (-1<\tfrac{1}{2}<2), após aplicar o valor absoluto a ordenada fica positiva: na função f o ponto correspondente será \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{4}\right) — isto é, o “fundo” da parábola foi refletido para cima.
Passo 6
Calculo alguns pontos-chave para orientar o esboço:
Zeros (intersecção com o eixo x): x=-1 e x=2 (pois aí f(x)=0).
Interseção com eixo y: f(0)=|0-0-2|=2, então (0,2).
Vértice reflexo dentro do intervalo central: \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{4}\right).
Esses pontos já permitem desenhar a forma geral.
Passo 7
Descrevo o formato do gráfico por trechos:
Para x\le -1: o gráfico coincide com a parábola y=x^{2}-x-2 (ramo da parábola que sobe para +\infty quando x\to-\infty).
Para -1\le x\le 2: o gráfico é o arco da parábola invertida y=-x^{2}+x+2 (um segmento de parábola voltado para baixo), atingindo máximo em \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{4}\right) e tocando o eixo x em -1 e 2.
Para x\ge 2: volta a coincidir com y=x^{2}-x-2 (ramo que sobe para +\infty quando x\to+\infty).
O gráfico é contínuo em todos os pontos; nos pontos x=-1 e x=2 pode haver cantos (não diferenciabilidade), pois as derivadas esquerda e direita diferem aí.
Passo 8
Comportamento para grandes |x|: como o termo dominante é x^{2}, tem-se f(x)\sim x^{2} quando |x|\to\infty. Portanto f(x)\to+\infty para x\to\pm\infty.
Passo 9
Determino o domínio: não há restrições (valor absoluto de polinômio é definido para todo real), então o domínio é \mathbb{R}.
Passo 10
Determino a imagem (conjunto-valor): como f(x)=|x^{2}-x-2|\ge 0 para todo x e já existem pontos com f(x)=0 (em x=-1 e x=2), o menor valor é 0 e não há máximo (vai a +\infty). Logo a imagem é [0,\infty).
Passo 11
Verifico a paridade:
Para ser par precisaríamos ter f(-x)=f(x) para todo x. Mas
f(-1)=0\quad\text{e}\quad f(1)=\big|1-1-2\big|=2,
logo f(-1)\ne f(1), portanto não é par.
Para ser ímpar precisaríamos f(-x)=-f(x), o que é impossível aqui porque f(x)\ge0 para todo x (uma função ímpar teria valores positivos e negativos simetricamente, inclusive f(0)=0 mas não seria sempre não-negativa). Logo a função não é ímpar.
Conclusão: a função não é nem par nem ímpar.
Resposta
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Paridade: nenhuma (não é par nem ímpar)