(4,0 \mathrm{Pt}. ) Considere um produto alimentar que contém 17 \mathrm{~g} / 100 \mathrm{~g}é de açúcares e será submetido ao processo de congelamento. (a) Estimar a temperatura inicial de congelamento, considerando que o produto é uma solução aquosa de açúcares diluida.
(b) Estimar a atividade de água a temperatura inicial de congelamento. (c) Considerando o produto alimentar um suco, estimar a temperatura inicial de congelamento aplicando uma equação empirica adequada. Comparar o resultado com o obtido no item (a).

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (resumido e claro):
  • Dado: o produto contém 17\\ \mathrm{g} de açúcares por 100\\ \mathrm{g} de produto (ou seja, concentração mássica 17\%).
  • Informação adicional implícita (que vou assumir, sem perguntar): tratar o soluto como açúcar típico de fruta (assumo sacarose, massa molar M=342{,}3\\ \mathrm{g/mol}) e que a solução é aquosa e diluída.
  • Pedidos:
    (a) Estimar a temperatura inicial de congelamento (temperatura em que começa a congelar).
    (b) Estimar a atividade da água a_w na temperatura inicial de congelamento obtida em (a).
    (c) Considerando o produto um suco (portanto usar uma equação empírica adequada para sucos), estimar a temperatura inicial de congelamento e comparar com o item (a).
Dados e constantes que usarei (valores padrão):
  • Constante crioscópica da água: K_f=1{,}86\\ ^\circ\mathrm{C\cdot kg\;mol^{-1}}.
  • Entalpia de fusão do gelo: \Delta H_\mathrm{fus}=6007\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}} (valor aproximado).
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Ponto de congelamento da água pura: T_0=273{,}15\\ \mathrm{K} (ou 0{,}00\\ ^\circ\mathrm{C}).
Observação: não há figura nem tabela faltando. Vou proceder com essas hipóteses razoáveis para um exercício típico desta natureza.

Passo 2

Entender a física/química que vamos aplicar — explicação didática e simples:
  • Para soluções diluídas não iônicas (como sacarose em água), a depressão do ponto de congelamento é uma propriedade coligativa: depende do número de partículas dissolvidas por massa de solvente, não da natureza química delas.
  • A fórmula básica (lei de crioscopia de Van ’t Hoff, válida para soluções diluídas) é
\Delta T_f = K_f \, m,
onde:
  • \Delta T_f é a depressão do ponto de congelamento (em ^\circ\mathrm{C}): diferença entre 0{,}00\\ ^\circ\mathrm{C} e o novo ponto de congelamento.
  • K_f é a constante crioscópica do solvente (para água 1{,}86\\ ^\circ\mathrm{C\cdot kg\;mol^{-1}}).
  • m é a molalidade da solução (em \mathrm{mol\;kg^{-1}}), definida como número de mols de soluto por quilograma de solvente (água).
  • Molalidade é diferente de percentagem mássica; para calcular m precisamos:
    1. calcular o número de mols do açúcar,
    2. dividir pela massa de solvente em kg (aqui, massa de água presente).
Vou mostrar passo a passo como calcular tudo sem pular contas.

Passo 3

Calcular mols de sacarose e a molalidade da solução:
  • Em 100\\ \mathrm{g} de produto há 17\\ \mathrm{g} de açúcar (sacarose, assumida) e 83\\ \mathrm{g} de água (solvente).
  • Número de mols de sacarose:
n = \frac{17\\ \mathrm{g}}{M} = \frac{17}{342{,}3}\\ \mathrm{mol}.
Faço essa divisão:
n \approx 0{,}049658\\ \mathrm{mol}.
  • Massa de solvente em kg:
m_{\text{solvente}} = 83\\ \mathrm{g} = 0{,}083\\ \mathrm{kg}.
  • Molalidade m:
m = \frac{n}{m_{\text{solvente}}} = \frac{0{,}049658}{0{,}083}\\ \mathrm{mol\;kg^{-1}} \approx 0{,}5983\\ \mathrm{mol\;kg^{-1}}.
Expliquei o que é molalidade e por que dividimos por a massa do solvente, não pela massa total da solução.

Passo 4

Aplicar a lei crioscópica para obter a depressão do ponto de congelamento e a temperatura inicial de congelamento:
  • Usando \Delta T_f = K_f \, m:
\Delta T_f = 1{,}86 \times 0{,}5983 \approx 1{,}1133\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • O ponto de congelamento da água pura é 0{,}00\\ ^\circ\mathrm{C}, portanto a nova temperatura inicial de congelamento é
T_f = 0{,}00 - \Delta T_f \approx -1{,}11\\ ^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: isso significa que o produto começará a congelar perto de -1{,}11\\ ^\circ\mathrm{C} por causa do açúcar presente (17%).

Passo 5

Agora vamos estimar a atividade da água a_w na temperatura inicial de congelamento. Explico a relação física de forma simples:
  • Existe uma relação termodinâmica (usando equilíbrio sólido–líquido e a relação de Clapeyron/Clausius-Clapeyron) que liga a atividade da água a_w à temperatura de congelamento T_f:
\ln a_w = -\frac{\Delta H_\mathrm{fus}}{R}\left(\frac{1}{T_f} - \frac{1}{T_0}\right),
onde:
  • \Delta H_\mathrm{fus} é a entalpia molar de fusão do gelo (J·mol^{-1}),
  • R é a constante dos gases (J·mol{-1},K{-1}),
  • T_f é a temperatura de congelação da solução em kelvin,
  • T_0 é a temperatura de congelação da água pura em kelvin ( 273{,}15\\ \mathrm{K}).
  • Essa fórmula vem de igualar potenciais químicos e integrar a forma diferencial da relação; para nós serve como forma prática e bem aceitável para soluções diluídas.
Vou calcular passo a passo.

Passo 6

Converter a temperatura encontrada para kelvin e calcular \ln a_w:
  • Temperatura de congelação T_f em kelvin:
T_f = 273{,}15 - 1{,}1133 = 272{,}0367\\ \mathrm{K}.
  • Calcular a diferença \frac{1}{T_f}-\frac{1}{T_0}. Para evitar erro de arredondamento uso a forma:
\frac{1}{T_f}-\frac{1}{T_0}=\frac{T_0-T_f}{T_f\,T_0}=\frac{\Delta T_f}{T_f\,T_0}.
Substituindo números:
\frac{1}{T_f}-\frac{1}{T_0} \approx \frac{1{,}1133}{272{,}0367\times 273{,}15}.
Calculo do denominador:
272{,}0367\times 273{,}15 \approx 74\,306{,}8\\ (\text{valor em } \mathrm{K^2}).
Logo
\frac{1}{T_f}-\frac{1}{T_0} \approx 1{,}4976\times 10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Agora aplicar na fórmula de \ln a_w:
\ln a_w = -\frac{6007}{8{,}314}\times 1{,}4976\times 10^{-5}.
Calculo do fator:
\frac{6007}{8{,}314}\approx 722{,}6.
Multiplicando:
\ln a_w \approx -722{,}6 \times 1{,}4976\times 10^{-5} \approx -0{,}01082.
  • Finalmente:
a_w = e^{-0{,}01082} \approx 0{,}9892.
Interpretação: a_w\approx 0{,}989 — isto está na faixa esperada para alimentos com esse teor de sólidos solúveis (é alto, próximo de 1, o que significa bastante água “livre” mas ligeiramente reduzida).

Passo 7

Item (c): usar uma equação empírica adequada para sucos e comparar com (a). Vou explicar a escolha e aplicar:
  • Em análise de alimentos, para sucos e soluções açucaradas com sólidos solúveis moderados, costuma-se usar relações empíricas entre ^{\circ}\mathrm{Brix} (aproximadamente igual à porcentagem mássica de sólidos solúveis, aqui 17\\ ^\circ\mathrm{Brix}) e ponto de congelamento. Uma aproximação frequentemente usada, válida para concentrações moderadas e muito utilizada em engenharia de alimentos, é uma relação linear aproximada
T_f^\text{(suco)} \approx -k \times \,^{\circ}\mathrm{Brix},
com k em torno de 0{,}054\\ ^\circ\mathrm{C}\,\mathrm{per}\,^{\circ}\mathrm{Brix}. Essa expressão é empírica, oriunda de ajustes experimentais para sucos/frutas (não é uma lei fundamental), mas é prática para estimativas rápidas.
  • Justificativa curta e honesta: sucos contêm mistura de açúcares, ácidos e outros solutos, e sua influência no ponto de congelamento nem sempre segue exatamente a crioscopia pura para sacarose; por isso usamos uma correlação empírica. Escolhi k=0{,}054 porque é um valor representativo para sucos na literatura prática (e próximo do valor obtido para pequenas concentrações de sacarose com base em cálculos coligativos).

Passo 8

Aplicar a equação empírica escolhida:
  • Com ^{\circ}\mathrm{Brix}\approx 17 e k=0{,}054:
T_f^\text{(suco)} \approx -0{,}054 \times 17 = -0{,}918\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Comparar o resultado empírico com o resultado teórico do item (a):
  • Resultado do item (a): T_f \approx -1{,}11\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Resultado empírico (suco): T_f^\text{(suco)} \approx -0{,}92\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença:
\Delta = -0{,}92 - (-1{,}11) \approx +0{,}19\\ ^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: a estimativa empírica para sucos dá um ponto de congelamento um pouco mais alto (menos depressão) do que a estimativa teórica simples assumindo sacarose pura. Isso pode ocorrer porque:
  • A composição real do suco (mistura de diferentes açúcares, ácidos, pectinas, etc.) altera a dependência coligativa efetiva.
  • A equação empírica foi ajustada a dados experimentais de sucos reais, que frequentemente apresentam comportamento ligeiramente diferente do modelo ideal de sacarose em água.
  • Conclusão qualitativa: ambos os valores são próximos (diferença pequena, \sim 0{,}2\\ ^\circ\mathrm{C}), então para fins práticos a lei crioscópica dá uma boa estimativa; a equação empírica é preferível se se quer um ajuste baseado em dados experimentais de sucos reais.

Resposta

(a) T_f \approx -1{,}11\\ ^\circ\mathrm{C}.
(b) a_w \approx 0{,}9892.
(c) Para suco (equação empírica T_f\approx -0{,}054\times{}^{\circ}\mathrm{Brix} com ^{\circ}\mathrm{Brix}=17): T_f^\text{(suco)}\approx -0{,}92\\ ^\circ\mathrm{C}. Diferença em relação a (a): aproximadamente 0{,}19\\ ^\circ\mathrm{C} (o valor empírico dá ponto de congelamento ligeiramente mais alto).

Exercícios relacionados