onde M_{i j} é a matriz menor (removendo linha i e coluna j). Essa fórmula é ótima quando uma coluna (ou linha) tem muitos zeros.
Se duas linhas (ou colunas) de uma matriz são proporcionais, então o determinante é 0.
Produto: \det(AB)=\det(A)\det(B).
Inversibilidade: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Vou aplicar essas ideias: usar expansão por coluna/linha em A aproveitando zeros; em B verificar dependência linear entre linhas.
Passo 3
Cálculo de \det(A).
Observação rápida na matriz A: a coluna 5 é quase toda zeros, só o elemento (5,5) é não nulo — de fato, lendo a matriz, o único termo na coluna 5 diferente de zero é a_{5 5}=13. Assim faço expansão por essa coluna:
Note que a linha 2 é exatamente o dobro da linha 3:
\text{linha 2} = 2\cdot \text{linha 3}.
Quando duas linhas são proporcionais (uma é múltiplo escalar da outra), o determinante é zero (isso decorre da propriedade alternante do determinante). Portanto
\det(B)=0.
Passo 5
Determinante do produto e invertibilidade de AB.
Usando a propriedade do determinante do produto:
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Já temos \det(A)=-\tfrac{13}{3} e \det(B)=0, então
\det(AB)=-\tfrac{13}{3}\cdot 0 = 0.
Como \det(AB)=0, a matriz AB não é invertível (uma matriz é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero).
Resposta
\det(A)=-\dfrac{13}{3} \det(B)=0 AB é invertível? Não.