( 20 pontos) Calcule o determinante das matrizes
A=\left[\begin{array}{ccccc} 4 & 2 & -1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 13 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & \pi & e & 2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 & 2 & 6 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\\\ -9 & 10 & 9 & 3 & 4 \\\\ 5 & 3 & \sqrt{2} & -1 & \pi \end{array}\right]
O produto A B é invertível?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular \det(A) e \det(B) para as matrizes fornecidas.
  • Dizer se o produto A B é invertível.
As matrizes dadas são
A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 & 2 & 0 \\\\ 0 & \tfrac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 13 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & \pi & e & 2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 & 2 & 6 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\\\ -9 & 10 & 9 & 3 & 4 \\\\ 5 & 3 & \sqrt{2} & -1 & \pi \end{pmatrix}.

Passo 2

Lembrete útil sobre determinantes (breve e prático):
  • A expansão por cofatores (expansão de Laplace) diz que, fixando uma coluna j,
\det(M)=\sum_{i=1}^{n} m_{i j}(-1)^{i+j}\det(M_{i j}),
onde M_{i j} é a matriz menor (removendo linha i e coluna j). Essa fórmula é ótima quando uma coluna (ou linha) tem muitos zeros.
  • Se duas linhas (ou colunas) de uma matriz são proporcionais, então o determinante é 0.
  • Produto: \det(AB)=\det(A)\det(B).
  • Inversibilidade: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Vou aplicar essas ideias: usar expansão por coluna/linha em A aproveitando zeros; em B verificar dependência linear entre linhas.

Passo 3

Cálculo de \det(A).
Observação rápida na matriz A: a coluna 5 é quase toda zeros, só o elemento (5,5) é não nulo — de fato, lendo a matriz, o único termo na coluna 5 diferente de zero é a_{5 5}=13. Assim faço expansão por essa coluna:
\det(A)=13\cdot(-1)^{5+5}\det\!\big(A^{(4)}\big)=13\det\!\big(A^{(4)}\big),
onde A^{(4)} é a submatriz formada pelas primeiras 4 linhas e primeiras 4 colunas:
A^{(4)}=\begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 & 2 \\\\ 0 & \tfrac{1}{3} & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora \;A^{(4)} tem a segunda linha com só um elemento não nulo ( \tfrac{1}{3} na coluna 2). Expandindo por essa linha:
\det\!\big(A^{(4)}\big)=\tfrac{1}{3}\cdot(-1)^{2+2}\det(M) =\tfrac{1}{3}\det(M),
onde M é a matriz 3\times3 obtida removendo linha 2 e coluna 2 de A^{(4)}. Escrevendo M:
M=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Para M é conveniente expandir pela segunda linha, que é (1,0,0). Expansão pela segunda linha dá apenas um termo:
\det(M)=1\cdot(-1)^{2+1}\det\begin{pmatrix}-1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
Calcule o menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot 1 - 2\cdot(-1) = -1 + 2 = 1.
Assim
\det(M)=(-1)\cdot 1 = -1.
Voltando:
\det\!\big(A^{(4)}\big)=\tfrac{1}{3}\cdot(-1)= -\tfrac{1}{3}.
E finalmente
\det(A)=13\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right) = -\tfrac{13}{3}.

Passo 4

Cálculo de \det(B).
Olhe as linhas 2 e 3 de B:
\text{linha 2}=(0,\;2,\;0,\;2,\;6),\qquad \text{linha 3}=(0,\;1,\;0,\;1,\;3).
Note que a linha 2 é exatamente o dobro da linha 3:
\text{linha 2} = 2\cdot \text{linha 3}.
Quando duas linhas são proporcionais (uma é múltiplo escalar da outra), o determinante é zero (isso decorre da propriedade alternante do determinante). Portanto
\det(B)=0.

Passo 5

Determinante do produto e invertibilidade de AB.
Usando a propriedade do determinante do produto:
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Já temos \det(A)=-\tfrac{13}{3} e \det(B)=0, então
\det(AB)=-\tfrac{13}{3}\cdot 0 = 0.
Como \det(AB)=0, a matriz AB não é invertível (uma matriz é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero).

Resposta

\det(A)=-\dfrac{13}{3}
\det(B)=0
AB é invertível? Não.

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