O pedido: calcular a inversa de cada matriz (quando existir), usando a fórmula com a matriz adjunta
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
As quatro matrizes A,B,C são 3\times3 e D é 4\times4.
Deve-se usar o método da adjunta (ou adjugate): calcular \det, a matriz de cofatores, transpor para obter \operatorname{adj} e dividir por \det.
A partir daqui vou calcular determinante, cofatores, adjunta e inversa (quando \det\neq0) para cada matriz, explicando passo a passo.]
Passo 2
Rápida revisão do método (aulas práticas, sem pular passos):
Para uma matriz quadrada M, o menor M_{ij} (minor) é o determinante da submatriz obtida removendo a linha i e a coluna j.
O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
A matriz de cofatores é a matriz formada pelos C_{ij}. A adjunta (adjugate) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(M)=(C_{ij})^{\mathsf T}.
Se \det(M)\neq0, então M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M).
Vou aplicar isso elemento a elemento. Para determinantes 2\times2 uso a fórmula
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc,
e para 3\times3 calculo por expansão (ou regra de Sarrus) explicando cada menor. Não vou pular cálculos de menores — você poderá reproduzir na prova.
Como \det(B)=0, a matriz B é singular e não tem inversa. Portanto B^{-1} não existe.]
Passo 7
Para C aproveito que a segunda coluna tem entradas (0,0,-3), então é prático expandir por essa coluna; mas farei um cálculo claro pela primeira linha também para mostrar menores:
onde M_{22} e M_{24} são os respectivos menores (já calculados). Os cálculos dos menores deram
M_{22}=-3,\qquad M_{24}=18,
portanto
\det(D)=2\cdot(-3)+1\cdot18=-6+18=12.
Confirmamos \det(D)=12\neq0, logo D é invertível.
Passo 11
Calculei todos os menores 3\times3 e apliquei os sinais para formar a matriz de cofatores; listo aqui os cofatores C_{ij} (cada um já com o sinal (-1)^{i+j} aplicado):