Dada as matrizes:
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2 \\\\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right] \quad D=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right]
Calcule a matriz inversa, quando ela existir, usando a matrix adjunta, para cada matriz.
Exemplo: \quad A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \cdot(\operatorname{adj} A)

Passo 1

O enunciado nos dá quatro matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 3 & 4 \end{array}\right],\quad C=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1\\[4pt] 3 & 0 & 2\\[4pt] 4 & -3 & 7 \end{array}\right],\quad D=\left[\begin{array}{cccc} 3 & -1 & 5 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 & -1 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right].
O pedido: calcular a inversa de cada matriz (quando existir), usando a fórmula com a matriz adjunta
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As quatro matrizes A,B,C são 3\times3 e D é 4\times4.
  • Deve-se usar o método da adjunta (ou adjugate): calcular \det, a matriz de cofatores, transpor para obter \operatorname{adj} e dividir por \det.
    A partir daqui vou calcular determinante, cofatores, adjunta e inversa (quando \det\neq0) para cada matriz, explicando passo a passo.]

Passo 2

Rápida revisão do método (aulas práticas, sem pular passos):
  • Para uma matriz quadrada M, o menor M_{ij} (minor) é o determinante da submatriz obtida removendo a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A matriz de cofatores é a matriz formada pelos C_{ij}. A adjunta (adjugate) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(M)=(C_{ij})^{\mathsf T}.
  • Se \det(M)\neq0, então M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M).
    Vou aplicar isso elemento a elemento. Para determinantes 2\times2 uso a fórmula
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc,
e para 3\times3 calculo por expansão (ou regra de Sarrus) explicando cada menor. Não vou pular cálculos de menores — você poderá reproduzir na prova.

Passo 3

Calcular \det(A). Expandindo pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0&2\\[2pt]1&1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}.
Calcule cada 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot1=-1,
\det\begin{pmatrix}0&2\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot1=-2,
\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-1)-2\cdot(-2)+1\cdot(-1)=-1+4-1=2.
Portanto \det(A)=2\neq0, logo A é invertível.]

Passo 4

Agora calculo os menores M_{ij} e cofatores C_{ij}.
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=-1, então C_{11}=(-1)^{2}(-1)=-1.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}0&2\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=-2, então C_{12}=(-1)^{3}(-2)=2.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=-1, então C_{13}=(-1)^{4}(-1)=-1.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot1=1, C_{21}=(-1)^{3}\cdot1=-1.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=1-1=0, C_{22}=0.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=-1, C_{23}=(-1)^{5}(-1)=1.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot1=3, C_{31}=3.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot0=2, C_{32}=(-1)^{5}\cdot2=-2.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]0&1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot0=1, C_{33}=1.
A matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Transpondo obtemos a adjunta:
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Aplicando
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{2}\operatorname{adj}(A),
obtemos
A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 1 & 0 & -1\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculo \det(B) pela primeira linha:
\det(B)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]3&4\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0&2\\[2pt]1&4\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&3\end{pmatrix}.
Calcule cada 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]3&4\end{pmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2,
\det\begin{pmatrix}0&2\\[2pt]1&4\end{pmatrix}=0\cdot4-2\cdot1=-2,
\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&3\end{pmatrix}=0\cdot3-1\cdot1=-1.
Substituindo:
\det(B)=1\cdot(-2)-2\cdot(-2)+2\cdot(-1)=-2+4-2=0.
Como \det(B)=0, a matriz B é singular e não tem inversa. Portanto B^{-1} não existe.]

Passo 7

Para C aproveito que a segunda coluna tem entradas (0,0,-3), então é prático expandir por essa coluna; mas farei um cálculo claro pela primeira linha também para mostrar menores:
\det\text{(C)}=2\cdot\det\begin{pmatrix}0&2\\[2pt]-3&7\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}3&0\\[2pt]4&-3\end{pmatrix}.
Calcule os 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0&2\\[2pt]-3&7\end{pmatrix}=0\cdot7-2\cdot(-3)=6,
\det\begin{pmatrix}3&0\\[2pt]4&-3\end{pmatrix}=3\cdot(-3)-0\cdot4=-9.
Portanto
\det\text{(C)}=2\cdot6 + (-1)\cdot(-9)=12+9=21.
Logo \det\text{(C)}=21\neq0: C é invertível.]

Passo 8

Calculo menores e cofatores (vou listar os resultados para cada C_{ij}, com o cálculo do menor):
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}0&2\\[2pt]-3&7\end{pmatrix}=6\Rightarrow C_{11}=6.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}3&2\\[2pt]4&7\end{pmatrix}=3\cdot7-2\cdot4=21-8=13\Rightarrow C_{12}=(-1)^{1+2}13=-13.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}3&0\\[2pt]4&-3\end{pmatrix}=-9\Rightarrow C_{13}=-9.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}0&-1\\[2pt]-3&7\end{pmatrix}=0\cdot7-(-1)(-3)=-3\Rightarrow C_{21}=(-1)^{3}(-3)=3.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}2&-1\\[2pt]4&7\end{pmatrix}=2\cdot7-(-1)\cdot4=14+4=18\Rightarrow C_{22}=18.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]4&-3\end{pmatrix}=2\cdot(-3)-0\cdot4=-6\Rightarrow C_{23}=(-1)^{5}(-6)=6.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}0&-1\\[2pt]0&2\end{pmatrix}=0\cdot2-(-1)\cdot0=0\Rightarrow C_{31}=0.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}2&-1\\[2pt]3&2\end{pmatrix}=2\cdot2-(-1)\cdot3=4+3=7\Rightarrow C_{32}=(-1)^{5}7=-7.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]3&0\end{pmatrix}=2\cdot0-0\cdot3=0\Rightarrow C_{33}=0.
Matriz de cofatores:
\begin{pmatrix} 6 & -13 & -9\\[4pt] 3 & 18 & 6\\[4pt] 0 & -7 & 0 \end{pmatrix}.
Adjunta (transposta):
\operatorname{adj}\text{(C)}=\begin{pmatrix} 6 & 3 & 0\\[4pt] -13 & 18 & -7\\[4pt] -9 & 6 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Aplicando
C^{-1}=\frac{1}{\det\text{(C)}}\operatorname{adj}\text{(C)}=\frac{1}{21}\operatorname{adj}\text{(C)},
obtém-se
C^{-1}=\frac{1}{21}\begin{pmatrix} 6 & 3 & 0\\[4pt] -13 & 18 & -7\\[4pt] -9 & 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{2}{7} & \dfrac{1}{7} & 0\\[6pt] -\dfrac{13}{21} & \dfrac{6}{7} & -\dfrac{1}{3}\\[6pt] -\dfrac{3}{7} & \dfrac{2}{7} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 10

Para D (tamanho 4\times4) eu já simplifiquei a conta expandindo pela segunda linha (tem só dois elementos não nulos: 2 e 1). Repetindo o raciocínio:
\det(D)=a_{22}C_{22}+a_{24}C_{24}=2\cdot M_{22}+1\cdot M_{24},
onde M_{22} e M_{24} são os respectivos menores (já calculados). Os cálculos dos menores deram
M_{22}=-3,\qquad M_{24}=18,
portanto
\det(D)=2\cdot(-3)+1\cdot18=-6+18=12.
Confirmamos \det(D)=12\neq0, logo D é invertível.

Passo 11

Calculei todos os menores 3\times3 e apliquei os sinais para formar a matriz de cofatores; listo aqui os cofatores C_{ij} (cada um já com o sinal (-1)^{i+j} aplicado):
Linha 1:
C_{11}=-11,\quad C_{12}=-5,\quad C_{13}=8,\quad C_{14}=10.
Linha 2:
C_{21}=-21,\quad C_{22}=-3,\quad C_{23}=12,\quad C_{24}=18.
Linha 3:
C_{31}=7,\quad C_{32}=1,\quad C_{33}=-4,\quad C_{34}=-2.
Linha 4:
C_{41}=31,\quad C_{42}=13,\quad C_{43}=-16,\quad C_{44}=-26.
A matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} -11 & -5 & 8 & 10\\[4pt] -21 & -3 & 12 & 18\\[4pt] 7 & 1 & -4 & -2\\[4pt] 31 & 13 & -16 & -26 \end{pmatrix}.
Transpondo, a adjunta é
\operatorname{adj}(D)=\begin{pmatrix} -11 & -21 & 7 & 31\\[4pt] -5 & -3 & 1 & 13\\[4pt] 8 & 12 & -4 & -16\\[4pt] 10 & 18 & -2 & -26 \end{pmatrix}.]

Passo 12

Agora
D^{-1}=\frac{1}{\det(D)}\operatorname{adj}(D)=\frac{1}{12}\operatorname{adj}(D).
Dividindo cada entrada por 12 e simplificando frações quando possível:
D^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{11}{12} & -\tfrac{7}{4} & \tfrac{7}{12} & \tfrac{31}{12}\\[6pt] -\tfrac{5}{12} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{12} & \tfrac{13}{12}\\[6pt] \tfrac{2}{3} & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\[6pt] \tfrac{5}{6} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{13}{6} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt] 1 & 0 & -1\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}
B^{-1}\\ \text{não existe (}\det(B)=0\text{)}ã
C^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{2}{7} & \dfrac{1}{7} & 0\\[6pt] -\dfrac{13}{21} & \dfrac{6}{7} & -\dfrac{1}{3}\\[6pt] -\dfrac{3}{7} & \dfrac{2}{7} & 0 \end{pmatrix}
D^{-1}=\begin{pmatrix} -\dfrac{11}{12} & -\dfrac{7}{4} & \dfrac{7}{12} & \dfrac{31}{12}\\[6pt] -\dfrac{5}{12} & -\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{13}{12}\\[6pt] \dfrac{2}{3} & 1 & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\[6pt] \dfrac{5}{6} & \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{6} & -\dfrac{13}{6} \end{pmatrix}]

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