(30 pontos)
(a) Encontre uma série de potências para a função f(x)=1x, centrada em x=1 (Sugestão: note que 1x=11-(1-x)).
(b) Encontre uma série de potências para f(x)=ln (x), centrada em x=1.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências centrada em x=1 para
f(x)=1/x e para f(x)=ln(x).
O conteúdo necessário é:
– a série geométrica
11 - u ;=;sumn=0^infty u^n, |u|<1,
– a série de Taylor de ln(1-z)
ln(1 - z);=;-,sumn=1^inftyz^nn, |z|<1

Passo 2

Para f(x)=1/x escrevemos
1x ;=;11 - (1 - x)
Aplicando a série geométrica com u = 1 - x (e condição |1 - x|<1), vem
1x =sumn=0^infty(1 - x)^n

Passo 3

Reescrevendo (1 - x)^n = (-1)^n(x - 1)^n, obtemos
1x =sumn=0^infty(-1)^n,(x - 1)^n, |x - 1|<1

Passo 4

Para f(x)=ln(x) note que, com z = 1 - x e |1 - x|<1, temos
ln(x) =lnl(1 - zr) =-sumn=1^inftyz^nn =-sumn=1^infty(1 - x)^nn

Passo 5

De novo (1 - x)^n = (-1)^n(x - 1)^n, logo
ln(x) =-sumn=1^infty(-1)^n,(x - 1)^nn =sumn=1^infty(-1)^,n-1,(x - 1)^nn, |x - 1|<1

Resposta

(a) 1x=sumn=0^infty(-1)^n,(x-1)^n,;|x-1|<1
(b) ln(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1,(x-1)^nn,;|x-1|<1

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