(30 pontos)
(a) Encontre o domínio da função f(x)=sumn=1^infty (-1)^n x^nn.
(b) Determine o domínio das funções f^prime(x) e integral0^t f(x) d x.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)=sumn=1^infty(-1)^nx^nn,
que é uma série de potência em x. O conteúdo envolvido é o estudo de convergência de séries de potência: primeiro determinamos o raio de convergência e depois investigamos a convergência nos extremos. Em (b) vamos diferenciar e integrar termo a termo, obtendo novas séries de potência e analisando seus domínios.

Passo 2

Cálculo do raio de convergência R pelo teste da razão. Seja
an=(-1)^nn
Então
limntoinfty|an+1an| =limntoinftynn+1=1
Logo o raio de convergência é R=1, ou seja, a série converge para |x|<1.

Passo 3

Verificação da convergência nos extremos:
  1. Em x=1 temos sumn=1^infty(-1)^nn, que é a série alternada convergente (pela série de Leibniz) e vale -ln2.
  2. Em x=-1 temos sumn=1^infty(-1)^n(-1)^nn =sumn=1^infty1n, que é a série harmônica e diverge.
Logo a série define f(x) para -1<x<=1.

Passo 4

Domínio de f:
boxed(-1,1]

Passo 5

Diferenciação termo a termo em |x|<1:
f'(x)=sumn=1^infty(-1)^nx^n-1
É uma série de potência com o mesmo raio R=1. Nos extremos x=pm1 ela diverge (soma de pm1 indefinida).
Domínio de f':
boxed(-1,1)

Passo 6

Integração termo a termo em |t|<1:
integral0^tf(x),dx =sumn=1^infty(-1)^nn;t^n+1n+1 =sumn=1^infty(-1)^nt^n+1n(n+1)
Também tem raio de convergência R=1. Em t=1 e t=-1 a série de coeficientes tfrac1n(n+1) converge (é comparável a 1/n^2 ou telescópica), logo a soma converge em ambos os extremos.
Domínio de integral0^tf(x),dx:
boxed[-1,1]

Resposta

(a) (-1,1]
(b) f'(x) tem domínio (-1,1) e integral0^tf(x),dx tem domínio [-1,1]

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