Determinar a equação da reta tangente à:
Elipse: 16 x^{2}+32 x+9 y^{2}+18 y-120=0, no ponto P_{0}=(1,-4).
Passo 1
Dados fornecidos:
16x^{2}+32x+9y^{2}+18y-120=0
Ponto dado:
P_{0}=(1,-4)
O que se pede:
Determinar a equação da reta tangente à curva dada (a elipse) no ponto P_{0}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a curva está dada de forma implícita por uma função F(x,y)=0, com
F(x,y)=16x^{2}+32x+9y^{2}+18y-120.
Passo 2
Ideia e ferramenta usada (aula rápida): quando uma curva é dada implicitamente por \,F(x,y)=0\,, a derivada \dfrac{dy}{dx} em pontos onde a curva é suave pode ser obtida diferenciando-se ambos os lados em relação a x, considerando y como função de x (regra da cadeia). Fazendo isso temos:
onde F_{x} é a derivada parcial de F em relação a x (tratando y como constante) e F_{y} é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). Desse último passo isolamos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}.
Explicação simples: F_{x} mede como F muda se mexermos só em x, F_{y} mede como F muda se mexermos só em y. A fórmula vem da regra da cadeia aplicada à condição F(x,y)=0.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de F. Lembre que a derivada de ax^{2} em relação a x é 2ax, e a derivada de by em relação a y é b.