Determinar a equação da reta tangente à:
Elipse: 16 x^{2}+32 x+9 y^{2}+18 y-120=0, no ponto P_{0}=(1,-4).

Passo 1

Dados fornecidos:
16x^{2}+32x+9y^{2}+18y-120=0
Ponto dado:
P_{0}=(1,-4)
O que se pede:
Determinar a equação da reta tangente à curva dada (a elipse) no ponto P_{0}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a curva está dada de forma implícita por uma função F(x,y)=0, com
F(x,y)=16x^{2}+32x+9y^{2}+18y-120.

Passo 2

Ideia e ferramenta usada (aula rápida): quando uma curva é dada implicitamente por \,F(x,y)=0\,, a derivada \dfrac{dy}{dx} em pontos onde a curva é suave pode ser obtida diferenciando-se ambos os lados em relação a x, considerando y como função de x (regra da cadeia). Fazendo isso temos:
\frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_{x}(x,y)+F_{y}(x,y)\,\frac{dy}{dx}=0,
onde F_{x} é a derivada parcial de F em relação a x (tratando y como constante) e F_{y} é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). Desse último passo isolamos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}.
Explicação simples: F_{x} mede como F muda se mexermos só em x, F_{y} mede como F muda se mexermos só em y. A fórmula vem da regra da cadeia aplicada à condição F(x,y)=0.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F. Lembre que a derivada de ax^{2} em relação a x é 2ax, e a derivada de by em relação a y é b.
F(x,y)=16x^{2}+32x+9y^{2}+18y-120.
Derivada parcial em relação a x:
F_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(16x^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(32x)+\frac{\partial}{\partial x}(9y^{2})+\frac{\partial}{\partial x}(18y)+\frac{\partial}{\partial x}(-120).
Como y é tratado como constante nas derivadas parciais em x, \dfrac{\partial}{\partial x}(9y^{2})=0 e \dfrac{\partial}{\partial x}(18y)=0. Então
F_{x}(x,y)=32x+32.
Derivada parcial em relação a y:
F_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(16x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(32x)+\frac{\partial}{\partial y}(9y^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(18y)+\frac{\partial}{\partial y}(-120).
Aqui x é tratado como constante, então as duas primeiras derivadas são zero, restando
F_{y}(x,y)=18y+18.

Passo 4

Aplicar a fórmula \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_{x}}{F_{y}}. Substituindo as expressões de F_{x} e F_{y}:
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{32x+32}{18y+18}.
Fatorando constantes e termos em parenteses para simplificar:
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{32(x+1)}{18(y+1)} = -\,\frac{16(x+1)}{9(y+1)}.

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto P_{0}=(1,-4). Primeiro calcule x+1 e y+1 em P_{0}:
x+1=1+1=2,\qquad y+1=-4+1=-3.
Agora substitua em \dfrac{dy}{dx}:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,-4)} = -\,\frac{16\cdot 2}{9\cdot (-3)} = -\,\frac{32}{-27} = \frac{32}{27}.
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto P_{0} é m=\dfrac{32}{27}.

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo P_{0}=(1,-4) e m=\dfrac{32}{27}:
y-(-4)=\frac{32}{27}(x-1).
Ou seja:
y+4=\frac{32}{27}(x-1).

Passo 7

Se preferir escrita em forma geral (ax+by+c=0), multiplique ambos os lados por 27 e reorganize:
27(y+4)=32(x-1).
27y+108=32x-32.
32x-27y-140=0.

Resposta

y+4=\frac{32}{27}(x-1)
32x-27y-140=0

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