(30 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y=\cos t, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
y^{\prime\prime}+y=\cos t,
com condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações relevantes: a equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, e o termo não-homogêneo é \cos t. A solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa. As constantes da solução serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 2

Achemos primeiro a solução da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+y=0.
Método (explicação): para uma equação linear com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo y(t)=e^{rt}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica para r:
r^{2}+1=0.
Resolvendo:
r=\pm i.
Quando as raízes são r=\pm i (complexas puras 0\pm i), a forma real da solução geral homogênea é uma combinação linear de \cos t e \sin t. Portanto a solução homogênea é
y_h(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais depois.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) da equação completa
y^{\prime\prime}+y=\cos t.
Método (explicação): vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Normalmente, para termo não-homogêneo \cos t tentamos uma particular do tipo A\cos t+B\sin t. Porém isso é exatamente da forma da solução homogênea — isto é um caso de ressonância. Quando o ansatz usual coincide com uma solução homogênea, multiplicamos por t para obter uma tentativa independente. Assim tentamos
y_p(t)=t\big(a\cos t + b\sin t\big),
onde a e b são constantes a determinar.

Passo 4

Calculemos y_p'(t) e y_p''(t) de forma detalhada. Primeiro escrevemos explicitamente:
y_p(t)=a t\cos t + b t\sin t.
Derivando (produto t\cdot\cos t e t\cdot\sin t):
y_p'(t)=a\big(\cos t - t\sin t\big) + b\big(\sin t + t\cos t\big).
Agrupando termos sem t e com t:
y_p'(t)=(a\cos t + b\sin t) + t\big(-a\sin t + b\cos t\big).
Derivando novamente (derivada de cada soma):
a) derivada de (a\cos t + b\sin t) é -a\sin t + b\cos t;
b) derivada de t(-a\sin t + b\cos t) usa produto:
\frac{d}{dt}\big[t(-a\sin t + b\cos t)\big]=(-a\sin t + b\cos t) + t(-a\cos t - b\sin t).
Somando as duas partes obtemos
y_p''(t)=2\big(-a\sin t + b\cos t\big) + t\big(-a\cos t - b\sin t\big).

Passo 5

Agora formamos y_p''+y_p. Substituindo y_p e y_p'':
y_p''(t)+y_p(t)=\Big[2(-a\sin t + b\cos t) + t(-a\cos t - b\sin t)\Big] + \Big[t(a\cos t + b\sin t)\Big].
Observe que os termos com t se cancelam:
t(-a\cos t - b\sin t)+t(a\cos t + b\sin t)=0.
Fica então
y_p''(t)+y_p(t)=2\big(-a\sin t + b\cos t\big) = -2a\sin t + 2b\cos t.
Queremos que isso seja igual a \cos t. Igualando os coeficientes de \cos t e \sin t obtemos o sistema
2b=1,\qquad -2a=0.
Logo
a=0,\qquad b=\tfrac{1}{2}.
Portanto a solução particular é
y_p(t)=\tfrac{1}{2}\,t\sin t.

Passo 6

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t + \tfrac{1}{2}t\sin t.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro, y(0)=1. Avaliando:
y(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 0\cdot\sin 0 = C_{1}\cdot 1 + 0 + 0 = C_{1}.
Assim
C_{1}=1.
Agora calculamos y'(t) para usar y'(0)=0. Derivando a solução geral:
derivada de C_{1}\cos t é -C_{1}\sin t;
derivada de C_{2}\sin t é C_{2}\cos t;
derivada de \tfrac{1}{2}t\sin t (produto) é \tfrac{1}{2}\sin t + \tfrac{1}{2}t\cos t.
Somando:
y'(t)=-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t + \tfrac{1}{2}t\cos t.
Avalie em t=0:
y'(0)=-C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\cdot 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 0\cdot 1 = C_{2}.
A condição y'(0)=0
C_{2}=0.

Passo 7

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=0 na solução geral, obtemos a solução do problema de valor inicial:
y(t)=\cos t + \tfrac{1}{2}\,t\sin t.

Resposta

y(t)=\cos t+\tfrac{1}{2}\,t\sin t

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