(30 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
com condições iniciais
Informações relevantes: a equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, e o termo não-homogêneo é
. A solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa. As constantes da solução serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 2
Achemos primeiro a solução da equação homogênea associada:
Método (explicação): para uma equação linear com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica para
:
Resolvendo:
Quando as raízes são
(complexas puras
), a forma real da solução geral homogênea é uma combinação linear de
e
. Portanto a solução homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais depois.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Método (explicação): vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Normalmente, para termo não-homogêneo
tentamos uma particular do tipo
. Porém isso é exatamente da forma da solução homogênea — isto é um caso de ressonância. Quando o ansatz usual coincide com uma solução homogênea, multiplicamos por
para obter uma tentativa independente. Assim tentamos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculemos
e
de forma detalhada. Primeiro escrevemos explicitamente:
Derivando (produto
e
):
Agrupando termos sem
e com
:
Derivando novamente (derivada de cada soma):
a) derivada de é
;
b) derivada de usa produto:
a) derivada de
b) derivada de
Somando as duas partes obtemos
Passo 5
Agora formamos
. Substituindo
e
:
Observe que os termos com
se cancelam:
Fica então
Queremos que isso seja igual a
. Igualando os coeficientes de
e
obtemos o sistema
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro,
. Avaliando:
Assim
Agora calculamos
para usar
. Derivando a solução geral:
derivada de é
;
derivada de é
;
derivada de (produto) é
.
Somando:
derivada de
derivada de
derivada de
Somando:
Avalie em
:
A condição
dá
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução do problema de valor inicial: