( 10 pontos) O movimento de um oscilador harmônico pode ser descrito, utilizando a segunda lei de Newton, pela equação diferencial linear de segunda ordem abaixo:
Sabendo-se que
é a massa do objeto em oscilação e
a constante elástica da mola que exerce uma força que tende a restaurar o movimento do objeto segundo a lei de Hooke
o deslocamento do objeto a partir de sua posição de equilíbrio, e considerando que a posição inicial do oscilador é
, e sua velocidade inicial
, encontre a equação do movimento
para um oscilador de massa
e uma mola de constante elástica
.
Passo 1
O enunciado dá a equação do oscilador harmônico segundo a segunda lei de Newton:
com
massa e
constante elástica. As condições iniciais são
e
. Queremos
quando
e
. O conteúdo é solução de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Dividindo por
obtemos a forma padrão:
Passo 3
A equação característica é
Isso indica solução oscilatória. Em termos reais, a solução geral é
Passo 4
Usamos as condições iniciais para achar
e
.
Em :
Em
Derivando,
logo em
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos