( 10 pontos) O movimento de um oscilador harmônico pode ser descrito, utilizando a segunda lei de Newton, pela equação diferencial linear de segunda ordem abaixo:
M x^{\prime \prime}(t)=-k x(t)
Sabendo-se que M é a massa do objeto em oscilação e k a constante elástica da mola que exerce uma força que tende a restaurar o movimento do objeto segundo a lei de Hooke F=-k x ; x(t) o deslocamento do objeto a partir de sua posição de equilíbrio, e considerando que a posição inicial do oscilador é x(0)=1, e sua velocidade inicial x^{\prime}(0)=-1, encontre a equação do movimento x(t) para um oscilador de massa M=2 e uma mola de constante elástica k=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação do oscilador harmônico segundo a segunda lei de Newton:
M\,x''(t)=-k\,x(t),
com M massa e k constante elástica. As condições iniciais são x(0)=1 e x'(0)=-1. Queremos x(t) quando M=2 e k=2. O conteúdo é solução de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Dividindo por M=2 obtemos a forma padrão:
x''(t)+\frac{k}{M}\,x(t)=0
x''(t)+1\cdot x(t)=0.

Passo 3

A equação característica é
r^{2}+1=0\quad\Longrightarrow\quad r=\pm i.
Isso indica solução oscilatória. Em termos reais, a solução geral é
x(t)=A\cos(t)+B\sin(t).

Passo 4

Usamos as condições iniciais para achar A e B.
Em t=0:
x(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A=1.
Derivando,
x'(t)=-A\sin(t)+B\cos(t),
logo em t=0:
x'(0)=B=-1.

Passo 5

Substituindo A=1 e B=-1 na solução geral, obtemos
x(t)=\cos(t)-\sin(t).

Resposta

x(t)=\cos(t)-\sin(t).

Exercícios relacionados