(30 pontos) - Resolver os PVIs e determinar o intervalo I de solução:
\operatorname{sen} x \frac{d y}{d x}+(\cos x) y=0, y\left(\frac{7 \pi}{6}\right)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\sin x\,\frac{dy}{dx}+(\cos x)\,y=0, \quad y\!\Bigl(\tfrac{7\pi}{6}\Bigr)=2
Este é um PVI de equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos pôr na forma padrão
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=0
e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo tudo por \sin x (desde que \sin x\neq0) obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{\cos x}{\sin x}\,y=0.
Aqui p(x)=\cot x.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) =\exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int\cot x\,dx\Bigr) =\exp\bigl(\ln|\sin x|\bigr) =|\sin x|.
Para nossa região de interesse (onde \sin x\neq0) podemos escolher \mu(x)=\sin x.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \sin x
\sin x\,\frac{dy}{dx}+\cos x\,y =\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\,y\bigr)=0.
Integrando,
\sin x\,y=C,
onde C é constante de integração. Então a solução geral é
y(x)=\frac{C}{\sin x}.

Passo 5

Impondo a condição y(7\pi/6)=2, temos
\sin\!\Bigl(\tfrac{7\pi}{6}\Bigr)=-\tfrac12, \quad 2=\frac{C}{-\tfrac12} \;\Longrightarrow\; C=-1.
Logo
y(x)=-\frac{1}{\sin x}.

Passo 6

A solução faz sentido enquanto \sin x\neq0. Como o ponto inicial x_0=7\pi/6 está em (\pi,2\pi), o maior intervalo de validade que contém 7\pi/6 é
I=(\pi,2\pi).

Resposta

A solução do PVI é
y(x)=-\frac{1}{\sin x},
válida em I=(\pi,2\pi).

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