(10 pontos) - Sabendo que y=-\frac{2}{x}+x é uma solução da ED x y^{\prime}+\mathrm{y}=2 x, determine x_{0} e o maior intervalo I em que y\left(x_{0}\right)=1.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem x\,y' + y = 2x cuja solução geral é
y(x) = -\frac{2}{x} + x.
Precisamos achar o ponto inicial x_{0} tal que y(x_{0})=1 e, em seguida, determinar o maior intervalo I em que essa solução esteja bem-definida e contenha x_{0}.

Passo 2

Impondo y(x_{0}) = 1 na expressão da solução, temos
-\frac{2}{x_{0}} + x_{0} = 1.
Multiplicando ambos os lados por x_{0} (com x_{0}\neq 0) obtemos
x_{0}^{2} - 2 = x_{0} \quad\Longrightarrow\quad x_{0}^{2} - x_{0} - 2 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática por fatoração ou fórmula de Bhaskara, achamos
(x_{0} - 2)(x_{0} + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{0} = 2 \quad\text{ou}\quad x_{0} = -1.

Passo 3

A expressão y(x) = -\frac{2}{x} + x não está definida em x=0 (há singularidade em -2/x). Portanto, a solução só existe em intervalos abertos que não contenham zero. O maior intervalo contendo cada raiz x_{0} é
\text{se }x_{0}=2,\;I=(0,\infty), \quad \text{se }x_{0}=-1,\;I=(-\infty,0).

Resposta

x_{0}=2 com I=(0,\infty) x_{0}=-1 com I=(-\infty,0)

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