f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 2, & \text { se } & 0 \leq x \leq \pi \\\\ 0, & \text { se } & \pi<x<2 \pi \\\\ -2, & \text { se } & 2 \pi \leq x<4 \pi \quad \text { e } \\\ f(x+4 \pi)=f(x) & & \end{array}\right.
a) Encontre a série de Fourier da função f(x).
b) Considerando apenas a soma do termo n=0 e do termo n=1, qual valor a série fornece para f(\pi / 2) ?
c) Esboce o gráfico da função f(x).
d) Seja s f(f)(x) a série de Fourier de f no ponto x. Qual o valor de s f(f)(1)+s f(f)(\pi) ?
Passo 1
O enunciado define f\) com período \(4\pi\) por
\[f(x)= \begin{cases} 2,&0\le x\le\pi,\\\\ 0,&\pi<x<2\pi,\\\\ -2,&2\pi\le x<4\pi, \end{cases}
e estende por f(x+4\pi)=f(x)\]. Vamos obter a série de Fourier de período \(T=4\pi. Usamos as fórmulas
De 2\pi a 4\pi, f(x)=-2.
E então repete-se a cada 4\pi.
Passo 8
No ponto x=1 a função é contínua (0<1<\pi), logo a soma da série dá f(1)=2.
Em x=\pi há descontinuidade de salto: f(\pi^-)=2, f(\pi^+)=0, e a série converge ao ponto médio \tfrac{2+0}{2}=1.
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