Seja a função f dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 2, & \text { se } & 0 \leq x \leq \pi \\\\ 0, & \text { se } & \pi<x<2 \pi \\\\ -2, & \text { se } & 2 \pi \leq x<4 \pi \quad \text { e } \\\ f(x+4 \pi)=f(x) & & \end{array}\right.
a) Encontre a série de Fourier da função f(x).
b) Considerando apenas a soma do termo n=0 e do termo n=1, qual valor a série fornece para f(\pi / 2) ?
c) Esboce o gráfico da função f(x).
d) Seja s f(f)(x) a série de Fourier de f no ponto x. Qual o valor de s f(f)(1)+s f(f)(\pi) ?

Passo 1

O enunciado define f\) com período \(4\pi\) por \[f(x)= \begin{cases} 2,&0\le x\le\pi,\\\\ 0,&\pi<x<2\pi,\\\\ -2,&2\pi\le x<4\pi, \end{cases}
e estende por f(x+4\pi)=f(x)\]. Vamos obter a série de Fourier de período \(T=4\pi. Usamos as fórmulas
a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)\cos\bigl(\tfrac{2\pi n}{T}x\bigr)\,dx,\quad b_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)\sin\bigl(\tfrac{2\pi n}{T}x\bigr)\,dx
com T=4\pi, de modo que \frac{2\pi n}{T}=\frac{n}{2}.

Passo 2

Calculemos
\int_0^{4\pi}f(x)\,dx =\int_0^{\pi}2\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}0\,dx+\int_{2\pi}^{4\pi}(-2)\,dx =2\pi-4\pi=-2\pi.
Logo
a_0=\frac{2}{4\pi}(-2\pi)=-1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a_0}{2}=-\tfrac12.

Passo 3

Para n\ge1,
\int_0^{4\pi}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr)\,dx =2\int_0^{\pi}\cos\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr)\,dx -2\int_{2\pi}^{4\pi}\cos\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr)\,dx.
A primeira parte dá
2\cdot\frac{2}{n}\sin\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr)\Big|_0^\pi =\frac{4}{n}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr),
e a segunda parte anula-se pois \sin(2n\pi)=\sin(n\pi)=0. Então
a_n =\frac{2}{4\pi}\,\frac{4}{n}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) =\frac{2}{\pi n}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Ainda para n\ge1,
\int_0^{4\pi}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr)\,dx =2\int_0^{\pi}\sin\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr)\,dx -2\int_{2\pi}^{4\pi}\sin\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr)\,dx.
A conta detalhada leva a
b_n =\frac{2}{4\pi}\Bigl[ (-4/n)\bigl(\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr) +4/n\bigl(1-(-1)^n\bigr)\Bigr].
Pode-se também simplificar caso a caso, mas deixamos em forma fechada.

Passo 5

Portanto a série de Fourier fica
f(x) =-\tfrac12 +\sum_{n=1}^\infty \Bigl[ \frac{2}{\pi n}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr) +b_n\sin\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr) \Bigr].

Passo 6

Para a soma apenas dos termos n=0 e n=1 em x=\tfrac{\pi}{2}, temos
a_0/2=-\tfrac12,\quad a_1=\frac{2}{\pi}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\frac{2}{\pi},\quad b_1=\frac{6}{\pi}
(elevações diretas de trigonometria). Assim a soma parcial é
-\tfrac12 +\frac{2}{\pi}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) +\frac{6}{\pi}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-\tfrac12 +\frac{8}{\pi}\,\frac{\sqrt2}{2} =-\tfrac12+\frac{4\sqrt2}{\pi}.

Passo 7

Gráfico de f num período [0,4\pi):
  • De 0 a \pi, f(x)=2.
  • De \pi a 2\pi, f(x)=0.
  • De 2\pi a 4\pi, f(x)=-2.
    E então repete-se a cada 4\pi.

Passo 8

No ponto x=1 a função é contínua ( 0<1<\pi), logo a soma da série dá f(1)=2.
Em x=\pi há descontinuidade de salto: f(\pi^-)=2, f(\pi^+)=0, e a série converge ao ponto médio \tfrac{2+0}{2}=1.
Logo
s f(f)(1)+s f(f)(\pi)=2+1=3.

Resposta

a)
f(x) =-\tfrac12 +\sum_{n=1}^\infty \Bigl[ \frac{2}{\pi n}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr) +b_n\sin\bigl(\tfrac{n}{2}x\bigr) \Bigr],
com b_n dado no passo 4.
b) \displaystyle -\tfrac12 +\frac{4\sqrt2}{\pi}.
c) Gráfico conforme passo 7.
d) 3.

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