Verifique que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada. Indique um intervalo de definição I para cada solução:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
é uma solução particular da equação diferencial
e, em seguida, indicar um intervalo de definição
para essa solução. Vamos usar derivação direta para checar a igualdade e depois discutir onde a solução está definida.
Passo 2
Calculamos
e
. Primeiro,
então, usando a regra do produto,
Agrupando termos,
Agora derivamos outra vez:
Isso dá
e
Logo,
Passo 3
Substituindo em
:
Os termos com
cancelam:
restando
Portanto,
satisfaz a equação dada, logo é uma solução particular.
Passo 4
A equação diferencial é linear de coeficientes contínuos em todo
, sem pontos singulares. Logo, qualquer solução (particular ou geral) é definida em qualquer intervalo aberto contido em
. O maximal intervalo de definição para esta solução é
Resposta
e pode ser definida em