Verifique que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada. Indique um intervalo de definição I para cada solução:
y^{\prime \prime}+y=2 \cos x-2 \operatorname{sen} x ; \quad y=x \operatorname{sen} x+x \cos x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y(x) = x\sin x + x\cos x
é uma solução particular da equação diferencial
y'' + y = 2\cos x - 2\sin x
e, em seguida, indicar um intervalo de definição I para essa solução. Vamos usar derivação direta para checar a igualdade e depois discutir onde a solução está definida.

Passo 2

Calculamos y' e y''. Primeiro,
y = x\sin x + x\cos x,
então, usando a regra do produto,
y' = \frac{d}{dx}(x\sin x) + \frac{d}{dx}(x\cos x) = \sin x + x\cos x + \cos x - x\sin x.
Agrupando termos,
y' = (\sin x + \cos x) + x(\cos x - \sin x).
Agora derivamos outra vez:
y'' = \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x) + \frac{d}{dx}\bigl[x(\cos x - \sin x)\bigr].
Isso dá
\frac{d}{dx}(\sin x + \cos x) = \cos x - \sin x
e
\frac{d}{dx}\bigl[x(\cos x - \sin x)\bigr] = (\cos x - \sin x) + x(-\sin x - \cos x).
Logo,
y'' = (\cos x - \sin x) + (\cos x - \sin x) - x(\sin x + \cos x) = 2(\cos x - \sin x) - x(\sin x + \cos x).

Passo 3

Substituindo em y'' + y:
y'' + y = \Bigl[2(\cos x - \sin x) - x(\sin x + \cos x)\Bigr] + \bigl[x\sin x + x\cos x\bigr].
Os termos com x cancelam:
-\,x(\sin x + \cos x) + x(\sin x + \cos x) = 0,
restando
y'' + y = 2(\cos x - \sin x) = 2\cos x - 2\sin x.
Portanto, y(x)=x\sin x + x\cos x satisfaz a equação dada, logo é uma solução particular.

Passo 4

A equação diferencial é linear de coeficientes contínuos em todo \mathbb{R}, sem pontos singulares. Logo, qualquer solução (particular ou geral) é definida em qualquer intervalo aberto contido em \mathbb{R}. O maximal intervalo de definição para esta solução é
I = (-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=x\sin x+x\cos x é solução particular de
y''+y=2\cos x-2\sin x
e pode ser definida em
I = (-\infty,\infty).

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