(30 pontos) Seja T o sólido limitado pelos planos x=-2, y=3, z=-5 e pelo plano
x-y+z=1
com densidade \rho(x, y, z)=1. Calcule o centro de massa do sólido T.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um sólido T de densidade unitária, limitado pelos planos \,x=-2,\;y=3,\;z=-5 e pelo plano
x - y + z = 1.
Como são quatro planos em posição geral, T é um tetraedro. Para densidade constante, o centro de massa coincide com o centróide do tetraedro, que é a média das coordenadas dos seus vértices.

Passo 2

Determinar os quatro vértices pelas interseções triplas dos planos:
– Interseção de x=-2,\;y=3,\;z=-5
A = (-2,\,3,\,-5).
– Interseção de x=-2,\;y=3 com x-y+z=1 obriga
-2 - 3 + z = 1\quad\Longrightarrow\quad z = 6,
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B = (-2,\,3,\,6).
– Interseção de x=-2,\;z=-5 com o plano dá
-2 - y - 5 = 1\quad\Longrightarrow\quad y = -8,
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C = (-2,\,-8,\,-5).
– Interseção de y=3,\;z=-5 com o plano dá
x - 3 - 5 = 1\quad\Longrightarrow\quad x = 9,
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D = (9,\,3,\,-5).

Passo 3

Para um tetraedro de vértices (x_i,y_i,z_i), i=1,\dots,4, a coordenada x do centróide é
\bar x = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4} x_i,
e análogas para \bar y e \bar z.

Passo 4

Somando as coordenadas dos vértices A,B,C,D:
\sum x_i = -2 + (-2) + (-2) + 9 = 3,\quad \sum y_i = 3 + 3 + (-8) + 3 = 1,\quad \sum z_i = -5 + 6 + (-5) + (-5) = -9.
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\bar x = \frac{3}{4},\quad \bar y = \frac{1}{4},\quad \bar z = -\frac{9}{4}.

Resposta

\Bigl(\bar x,\bar y,\bar z\Bigr) = \Bigl(\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{4},\,-\tfrac{9}{4}\Bigr).

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