(30 pontos) Seja
o sólido limitado pelos planos
e pelo plano
com densidade
. Calcule o centro de massa do sólido
.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de um sólido
de densidade unitária, limitado pelos planos
e pelo plano
Como são quatro planos em posição geral,
é um tetraedro. Para densidade constante, o centro de massa coincide com o centróide do tetraedro, que é a média das coordenadas dos seus vértices.
Passo 2
Determinar os quatro vértices pelas interseções triplas dos planos:
– Interseção de dá
– Interseção de
– Interseção de
com
obriga
logo
– Interseção de
com o plano dá
logo
– Interseção de
com o plano dá
logo
Passo 3
Para um tetraedro de vértices
,
, a coordenada
do centróide é
e análogas para
e
.
Passo 4
Somando as coordenadas dos vértices
:
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