( 30 pontos) Seja
D=\left\{(x, y): 4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9 \text { e } \frac{1}{\sqrt{3}} \leq \frac{y}{x} \leq \sqrt{3}\right\}
uma região do plano. Calcule a integral de f(x, y)=x+y sobre D.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de f(x,y)=x+y sobre a região
D=\bigl\{(x,y)\colon 4\le x^2+y^2\le9,\;\tfrac1{\sqrt3}\le\tfrac yx\le\sqrt3\bigr\}.
O conteúdo é cálculo em coordenadas polares, já que D é um anel entre raios 2 e 3 limitado por duas retas que passam pela origem. Vamos usar a mudança
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares o integrando fica
x+y = r\cos\theta + r\sin\theta = r(\cos\theta+\sin\theta)
e o elemento de área é r\,dr\,d\theta. Logo a integral sobre D vira
\iint_{D}(x+y)\,dA =\int_{\theta=\pi/6}^{\pi/3}\!\!\int_{r=2}^{3}r(\cos\theta+\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta =\int_{\pi/6}^{\pi/3}(\cos\theta+\sin\theta)\,\Bigl[\int_{2}^{3}r^2\,dr\Bigr]\,d\theta.

Passo 3

Calculando a parte radial:
\int_{2}^{3}r^2\,dr =\biggl[\frac{r^3}{3}\biggr]_{2}^{3} =\frac{3^3-2^3}{3} =\frac{27-8}{3} =\frac{19}{3}.

Passo 4

Agora a parte angular:
\int_{\pi/6}^{\pi/3}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta =\bigl[\sin\theta - \cos\theta\bigr]_{\pi/6}^{\pi/3}.
Em \theta=\pi/3 temos \sin(\pi/3)-\cos(\pi/3)=\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac12,
e em \theta=\pi/6 temos \sin(\pi/6)-\cos(\pi/6)=\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}.
Subtraindo dá
\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac12\Bigr)-\Bigl(\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) =\sqrt3-1.

Passo 5

Multiplicando as duas partes:
\iint_{D}(x+y)\,dA =\frac{19}{3}\,\bigl(\sqrt3-1\bigr).

Resposta

\frac{19}{3}\,(\sqrt3-1).

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