( 30 pontos) Seja
uma região do plano. Calcule a integral de
sobre
.
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla de
sobre a região
O conteúdo é cálculo em coordenadas polares, já que
é um anel entre raios 2 e 3 limitado por duas retas que passam pela origem. Vamos usar a mudança
Passo 2
Em coordenadas polares o integrando fica
e o elemento de área é
. Logo a integral sobre
vira
Passo 3
Calculando a parte radial:
Passo 4
Agora a parte angular:
Em
temos
,
e em temos
.
Subtraindo dá
e em
Subtraindo dá
Passo 5
Multiplicando as duas partes: