Resolva os seguintes problemas:
Resolva o PVI utilizando trasnformada de
Laplace: y^{\prime \prime}+y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y''(t) + y(t) = 0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=1
e pede para resolver usando transformada de Laplace. Precisamos lembrar que, se definirmos
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\},
então vale
\mathcal{L}\{y'(t)\}=s\,Y(s)-y(0), \quad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2\,Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y''(t) + y(t) = 0
obtemos
\mathcal{L}\{y''(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = 0.
Substituindo as fórmulas das derivadas, fica
\bigl(s^2\,Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) + Y(s) = 0.
Como y(0)=1 e y'(0)=1, temos
s^2\,Y(s) - s - 1 + Y(s) = 0.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s),
(s^2 +1)\,Y(s) = s + 1 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{s+1}{s^2+1}.
Agora separamos em frações conhecidas:
Y(s) = \frac{s}{s^2+1} + \frac{1}{s^2+1}.

Passo 4

Usando a tabela básica de transformadas inversas, sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^2+1}\Bigr\} = \cos(t), \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2+1}\Bigr\} = \sin(t).
Logo a solução inversa é
y(t) = \cos(t) + \sin(t).

Resposta

y(t) = \cos(t) + \sin(t).

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