(40 pontos) Calcule a média da função
f(x, y, z)=\frac{z^{2}}{y}
sobre o sólido S delimitado por
\begin{gathered} 0 \leq \frac{\ln \left(\frac{2 y}{z(x+z+1)}\right)}{\sqrt{(x+z+1)^{2}+\left(\ln \left(\frac{2 y}{z(x+z+1)}\right)\right)^{2}+\frac{z^{2}}{4}}} \leq 1 \\\ \frac{1}{\sqrt{3}} \leq \frac{z}{2(x+z+1)} \leq \sqrt{3} \end{gathered}
e
1 \leq(x+z+1)^{2}+\left(\ln \left(\frac{2 y}{z(x+z+1)}\right)\right)^{2}+\frac{z^{2}}{4} \leq 4 .
Pode usar:
\int e^{k x}\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) d x=e^{k x}\left[\frac{a x^{3}}{k}-\frac{3 a x^{2}}{k^{2}}+\frac{6 a x}{k^{3}}-\frac{6 a}{k^{4}}+\frac{b x^{2}}{k}-\frac{2 b x}{k^{2}}+\frac{2 b}{k^{3}}+\frac{c x}{k}-\frac{c}{k^{2}}+\frac{d}{k}\right]+C

Passo 1

O enunciado pede a média da função
f(x,y,z)=\frac{z^2}{y}
sobre o sólido S definido pelas três condições
0 \le \frac{\ln\!\bigl(\tfrac{2y}{z(x+z+1)}\bigr)} {\sqrt{(x+z+1)^2+\bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{2y}{z(x+z+1)}\bigr)\bigr]^2+\tfrac{z^2}{4}}}\le1,
\frac{1}{\sqrt3}\le\frac{z}{2(x+z+1)}\le\sqrt3,
1\le (x+z+1)^2+\bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{2y}{z(x+z+1)}\bigr)\bigr]^2+\frac{z^2}{4}\le4.
O truque é a troca de variáveis
u=x+z+1,\quad v=\ln\!\Bigl(\frac{2y}{z\,u}\Bigr),\quad w=\frac{z}{2},
que leva o domínio a um setor esférico em (u,v,w). Vamos usá-lo para calcular tanto o numerador \displaystyle\iiint_S f\,dV quanto o denominador \displaystyle\iiint_S dV.

Passo 2

Em (u,v,w) tem-se
z=2w,\quad y=\frac{z\,u\,e^v}{2}=w\,u\,e^v,
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f(x,y,z)=\frac{z^2}{y} =\frac{(2w)^2}{w\,u\,e^v} =\frac{4w}{u\,e^v}.
O Jacobiano da mudança (x,y,z)\to(u,v,w) é
J_1=\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ -1/u & 1/y & -1/z\\\\ 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix} =\frac1{2y},
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dV =dxdydz =2y\;du\,dv\,dw =2w\,u\,e^v\;du\,dv\,dw.
Dessa forma o integrando transforma-se em
f\,dV =\frac{4w}{u\,e^v}\;(2w\,u\,e^v)\;du\,dv\,dw =8\,w^2\;du\,dv\,dw.

Passo 3

As desigualdades definem em (u,v,w) o setor esférico
r=\sqrt{u^2+v^2+w^2}\in[1,2],\quad \frac{v}{r}=\cos\theta\in[0,1]\\ (\theta\in[0,\tfrac\pi2]),\quad \frac w u=\tan\varphi\in\bigl[\tfrac\pi6,\tfrac\pi3\bigr].
Em coordenadas esféricas
u=r\sin\theta\cos\varphi,\quad v=r\cos\theta,\quad w=r\sin\theta\sin\varphi,
o jacobiano é r^2\sin\theta. Logo
\iiint_S f\,dV =8\int_{\varphi=\pi/6}^{\pi/3}\!\!\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\!\int_{r=1}^{2} \bigl(r\sin\theta\sin\varphi\bigr)^2\,(r^2\sin\theta)\,dr\,d\theta\,d\varphi =8\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin^2\varphi\,d\varphi \int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta\,d\theta \int_{1}^{2}r^4\,dr.

Passo 4

Calculamos em separado:
\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin^2\varphi\,d\varphi =\frac\pi{12},\quad \int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta\,d\theta =\frac23,\quad \int_{1}^{2}r^4\,dr =\frac{31}{5}.
Logo
\iiint_S f\,dV =8\;\frac\pi{12}\;\frac23\;\frac{31}{5} =\frac{124\pi}{45}.

Passo 5

Para o volume usamos de novo as esféricas, mas lembrando o fator 2y=2w\,u\,e^v:
\iiint_S dV =2\int_{\pi/6}^{\pi/3}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{1}^{2} (u\,w\,e^v)\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi =2\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi \int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta\! \Bigl[\int_{1}^{2}r^4e^{r\cos\theta}dr\Bigr]d\theta.
Chamando \displaystyle B=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi=\tfrac14 e \displaystyle I=\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta\!\bigl[\int_{1}^{2}r^4e^{r\cos\theta}dr\bigr]d\theta,
temos
\iiint_S dV =2B\,I =\tfrac12\,I.

Passo 6

Para I trocamos a ordem nas integrais: com t=\cos\theta verifica-se
I =\int_{1}^{2}r^4\Bigl[\int_{0}^{\pi/2}\sin^3\theta\,e^{r\cos\theta}d\theta\Bigr]dr =\int_{1}^{2}r^4\Bigl[\int_{0}^{1}(1-t^2)e^{r t}dt\Bigr]dr.
Define-se \displaystyle M(r)=\int_{0}^{1}(1-t^2)e^{rt}dt.
Cálculo via derivadas leva a
M(r) =\frac{2e^r(r-1)-r^2+2}{r^3},
então
I =\int_{1}^{2}r^4\,M(r)\,dr =\int_{1}^{2}\bigl[2r(r-1)e^r -r^3+2r\bigr]dr =2e^2-2e-\tfrac34.
Logo o volume é
\iiint_S dV =\frac12\,I =e^2-e-\frac38.

Passo 7

A média de f sobre S é
\bar f =\frac{\displaystyle\iiint_S f\,dV}{\displaystyle\iiint_S dV} =\frac{\tfrac{124\pi}{45}}{\,e^2-e-\tfrac38\,} =\frac{124\pi}{45\bigl(e^2-e-\tfrac38\bigr)} =\frac{992\pi}{45\bigl(8e^2-8e-3\bigr)}.

Resposta

\boxed{ \bar f =\frac{992\pi}{45\,(8e^2-8e-3)}. }

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