( 30 pontos) Um tanque rígido e estanque contém 20 L de água a 125 kPa e volume específico de 0,35820 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg}. O tanque é submetido a um processo de aquecimento até alcançar 140^{\circ} \mathrm{C}. Determine o calor transferido durante este processo.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo clarinho):
  • Volume total do tanque: V=20\\ \text{L}=0,020\\ \text{m}^3.
  • Pressão inicial: P_1=125\\ \text{kPa}.
  • Volume específico (dado) em todo o processo (tanque rígido): v=0,35820\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Temperatura final: T_2=140^\circ\text{C}.
    O que precisa ser determinado:
  • O calor transferido Q durante o aquecimento do sistema fechado (tanque rígido).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a massa de água contida no tanque. Como o tanque é rígido, o volume total é constante e a relação entre volume total, massa e volume específico é
V = m\,v.
Logo
m=\frac{V}{v}.
Substituindo os números:
m=\frac{0,020}{0,35820}\approx 0,055835\\ \text{kg}.
Guardo m\approx 0,05584\\ \text{kg}.
Explicação didática rápida: massa é quantos “kg” cabem naquele volume, e o volume específico v é o volume por unidade de massa. Então dividir o volume total pelo volume por kg dá os kg.

Passo 3

Entender os estados inicial e final (fase) — isto é essencial para saber que propriedade usar.
  • Estado inicial: P_1=125\\ \text{kPa} e v=0,35820\\ \text{m}^3/\text{kg}.
    Para saber se é líquido comprimido, mistura saturada ou vapor superaquecido, comparar v com os volumes específicos saturados à pressão P_1: v_f(P_1) e v_g(P_1).
    Vou usar valores das tabelas de vapor saturado (peguei estes valores nas tabelas de vapor saturado):
    • Em P_1=125\\ \text{kPa} (aprox. T_{sat}\approx103,6^\circ\text{C}) adoto os valores aproximados: v_{f1}\approx 0,001043\\ \text{m}^3/\text{kg},\qquad v_{g1}\approx 1,492\\ \text{m}^3/\text{kg}.
    Como v_{f1}<v=0,35820<v_{g1},segue que o estado inicial é uma mistura saturada (líquido + vapor).
  • Estado final: T_2=140^\circ\text{C} e o volume específico permanece v=0,35820\\ \text{m}^3/\text{kg}.
    Consultando as tabelas de vapor saturado em T_2=140^\circ\text{C} (peguei estes valores nas tabelas): v_{f2}\approx 0,001127\\ \text{m}^3/\text{kg},\qquad v_{g2}\approx 0,3928\\ \text{m}^3/\text{kg}.Como v_{f2}<v=0,35820<v_{g2},o estado final também é uma mistura saturada (mas com qualidade bem maior do que no início).
Comentário didático: sempre comparar o v dado com v_f e v_g na pressão (ou temperatura) do estado para identificar a fase. Aqui os dois estados caem na faixa v_f<v<v_g, então ambos são mistura saturada.

Passo 4

Calcular as qualidades (fração mássica de vapor) inicial e final usando a relação da mistura saturada:
x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}.
  • Qualidade inicial x_1 (usando v_{f1} e v_{g1} em P_1=125\\ \text{kPa}):
x_1=\frac{0,35820-0,001043}{1,492-0,001043} =\frac{0,357157}{1,490957}\approx 0,2396.
Ou seja, inicialmente cerca de 23{,}96\% da massa está em fase vapor.
  • Qualidade final x_2 (usando v_{f2} e v_{g2} em T_2=140^\circ\text{C}):
x_2=\frac{0,35820-0,001127}{0,3928-0,001127} =\frac{0,357073}{0,391673}\approx 0,9119.
Ou seja, no final cerca de 91{,}19\% da massa está em vapor saturado.
Explicação didática: a qualidade x é a fração da massa que é vapor; se x=0 é todo líquido saturado, se x=1 é todo vapor saturado. O volume específico da mistura é a média ponderada entre v_f e v_g.

Passo 5

Para calcular o calor Q usamos a primeira lei para sistema fechado (tanque rígido):
\Delta E = Q - W.
Como o tanque é rígido e fechado, não há trabalho de deslocamento ( W=0). Também desprezamos variações de energia potencial e cinética. Assim
Q=\Delta U = m\,(u_2-u_1),
onde u é a energia interna específica. Para uma mistura saturada vale
u=(1-x)\,u_f + x\,u_g = u_f + x(u_g-u_f).
Vou usar nas duas situações os valores de energia interna específica das tabelas de vapor saturado (peguei estes valores nas tabelas; são valores aproximados para referência prática):
  • Em P_1=125\\ \text{kPa}: u_{f1}\approx 432{,}0\\ \text{kJ/kg},\qquad u_{g1}\approx 2520{,}0\\ \text{kJ/kg}.
  • Em T_2=140^\circ\text{C}: u_{f2}\approx 589{,}5\\ \text{kJ/kg},\qquad u_{g2}\approx 2582{,}0\\ \text{kJ/kg}.
Agora calculo u_1 e u_2.
  • Energia interna específica inicial u_1:
u_1 = u_{f1} + x_1\,(u_{g1}-u_{f1}) =432{,}0 + 0{,}2396\,(2520{,}0-432{,}0).
Calcule o termo:
u_{g1}-u_{f1}=2520{,}0-432{,}0=2088{,}0\\ \text{kJ/kg},
u_1=432{,}0 + 0{,}2396\times2088{,}0\approx 432{,}0 + 500{,}3 \approx 932{,}3\\ \text{kJ/kg}.
  • Energia interna específica final u_2:
u_2 = u_{f2} + x_2\,(u_{g2}-u_{f2}) =589{,}5 + 0{,}9119\,(2582{,}0-589{,}5).
Calcule o termo:
u_{g2}-u_{f2}=2582{,}0-589{,}5=1992{,}5\\ \text{kJ/kg},
u_2=589{,}5 + 0{,}9119\times1992{,}5\approx 589{,}5 + 1816{,}5 \approx 2406{,}0\\ \text{kJ/kg}.

Passo 6

Agora a variação de energia interna por unidade de massa:
\Delta u = u_2-u_1 = 2406{,}0 - 932{,}3 = 1473{,}7\\ \text{kJ/kg}.
Energia total (calor transferido) é
Q = m\,\Delta u = 0,055835\\ \text{kg}\times 1473{,}7\\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \approx 82{,}27\\ \text{kJ}.
Interpretação: calor positivo indica calor fornecido ao sistema (aquecimento).

Resposta

Q \approx 82{,}3\\ \text{kJ}

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