6.23 Escoamento permanente, incompressível e sem atrito, da direita para a esquerda, sobre um cilindro circular estacionário de raio a é dado pelo campo de velocidade
\vec{V}=U\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{2}-1\right] \cos \theta \hat{e}_{r}+U\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{2}+1\right] \operatorname{sen} \theta \hat{e}_{\theta}
Considere o escoamento ao longo da linha de corrente que forma a superficie do cilindro, r=a. Expresse as componentes do gradiente de pressão em termos do ângulo \theta. Trace um gráfico da velocidade V como função de r ao longo da linha radial \theta=\pi / 2 para \mathrm{r}>a.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades (em coordenadas cilíndricas (r,\theta)):
\vec{V}=U\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{2}-1\right]\cos\theta\,\hat{e}_{r} +U\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{2}+1\right]\operatorname{sen}\theta\,\hat{e}_{\theta}.
As perguntas são:
  • Expressar as componentes do gradiente de pressão ao longo da linha de corrente que é a superfície do cilindro, isto é, em r=a, em função do ângulo \theta. Ou seja, determinar \dfrac{\partial p}{\partial r} e \dfrac{\partial p}{\partial \theta} avaliadas em r=a como funções de \theta.
  • Traçar (descrever) o gráfico da velocidade V como função de r ao longo da linha radial \theta=\pi/2 para r>a.
Informações relevantes dadas:
  • U e a são constantes positivas.
  • O escoamento é permanente, incompressível e sem atrito (campo de Euler/potencial).
  • Componentes do campo: V_r(r,\theta)=U\bigl((a/r)^2-1\bigr)\cos\theta e V_\theta(r,\theta)=U\bigl((a/r)^2+1\bigr)\operatorname{sen}\theta.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas que usaremos (explicadas passo a passo):
  1. Equação de Euler para escoamento incomp., inviscido e permanente relaciona aceleração convectiva e gradiente de pressão:
\rho (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} = -\nabla p,
onde \rho é a densidade do fluido (constante), \vec{V} a velocidade e p a pressão. O termo (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a aceleração convectiva: descreve como a velocidade muda ao seguir uma partícula fluida.
  1. Em coordenadas cilíndricas (somente componentes no plano r,\theta), as componentes da aceleração convectiva são:
a_r = V_r\frac{\partial V_r}{\partial r} + \frac{V_\theta}{r}\frac{\partial V_r}{\partial \theta} - \frac{V_\theta^2}{r},
a_\theta = V_r\frac{\partial V_\theta}{\partial r} + \frac{V_\theta}{r}\frac{\partial V_\theta}{\partial \theta} + \frac{V_r V_\theta}{r}.
Estas fórmulas vêm da expansão de (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} em coordenadas cilíndricas — cada termo tem interpretação física: derivadas radiais e angulares e termos geométricos como -V_\theta^2/r (aceleração centrífuga).
  1. O gradiente de pressão em coordenadas cilíndricas é \nabla p = \dfrac{\partial p}{\partial r}\hat{e}_r + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial p}{\partial \theta}\hat{e}_\theta. Assim, a igualdade com Euler dá, componente a componente,
\frac{\partial p}{\partial r} = -\rho\, a_r, \qquad \frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta} = -\rho\, a_\theta,
ou equivalentemente
\frac{\partial p}{\partial \theta} = -\rho\, r\, a_\theta.
Vou usar essas relações para calcular \partial p/\partial r e \partial p/\partial\theta em r=a.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias dos componentes de velocidade (primeiro para r geral, depois avaliamos em r=a).
As componentes dadas são
V_r(r,\theta)=U\Bigl(\frac{a^{2}}{r^{2}}-1\Bigr)\cos\theta, \qquad V_\theta(r,\theta)=U\Bigl(\frac{a^{2}}{r^{2}}+1\Bigr)\operatorname{sen}\theta.
Derivadas em relação a r:
\frac{\partial V_r}{\partial r} =U\cos\theta\cdot\frac{d}{dr}\Bigl(\frac{a^{2}}{r^{2}}-1\Bigr) =U\cos\theta\cdot\Bigl(-2\frac{a^{2}}{r^{3}}\Bigr) =-2U\frac{a^{2}}{r^{3}}\cos\theta.
\frac{\partial V_\theta}{\partial r} =U\operatorname{sen}\theta\cdot\frac{d}{dr}\Bigl(\frac{a^{2}}{r^{2}}+1\Bigr) =U\operatorname{sen}\theta\cdot\Bigl(-2\frac{a^{2}}{r^{3}}\Bigr) =-2U\frac{a^{2}}{r^{3}}\operatorname{sen}\theta.
Derivadas em relação a \theta:
\frac{\partial V_r}{\partial \theta} =U\Bigl(\frac{a^{2}}{r^{2}}-1\Bigr)\cdot(-\operatorname{sen}\theta) =-U\Bigl(\frac{a^{2}}{r^{2}}-1\Bigr)\operatorname{sen}\theta.
\frac{\partial V_\theta}{\partial \theta} =U\Bigl(\frac{a^{2}}{r^{2}}+1\Bigr)\cdot\cos\theta.

Passo 4

Avaliar as velocidades na superfície r=a (isso facilita muitos termos):
\left.\frac{a^{2}}{r^{2}}\right|_{r=a}=1,
logo
V_r(a,\theta)=U(1-1)\cos\theta=0, \qquad V_\theta(a,\theta)=U(1+1)\operatorname{sen}\theta=2U\operatorname{sen}\theta.
Também as derivadas angulares em r=a:
\left.\frac{\partial V_r}{\partial \theta}\right|_{r=a} =-U(1-1)\operatorname{sen}\theta=0, \qquad \left.\frac{\partial V_\theta}{\partial \theta}\right|_{r=a}=2U\cos\theta.
E as derivadas radiais em r=a:
\left.\frac{\partial V_r}{\partial r}\right|_{r=a} = -2U\frac{a^{2}}{a^{3}}\cos\theta = -2U\frac{\cos\theta}{a},
\left.\frac{\partial V_\theta}{\partial r}\right|_{r=a} = -2U\frac{a^{2}}{a^{3}}\operatorname{sen}\theta = -2U\frac{\operatorname{sen}\theta}{a}.

Passo 5

Calcular a componente radial da aceleração convectiva em r=a:
a_r = V_r\frac{\partial V_r}{\partial r} + \frac{V_\theta}{r}\frac{\partial V_r}{\partial \theta} - \frac{V_\theta^2}{r}.
Avaliação em r=a: como V_r(a,\theta)=0 e \left.\partial V_r/\partial\theta\right|_{r=a}=0, os dois primeiros termos são zero, resta apenas o termo centrífugo:
a_r(a,\theta) = -\frac{V_\theta(a,\theta)^2}{a} = -\frac{\bigl(2U\operatorname{sen}\theta\bigr)^2}{a} = -\frac{4U^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta}{a}.
Pelo Euler, \dfrac{\partial p}{\partial r} = -\rho\, a_r. Portanto, em r=a,
\boxed{\displaystyle \left.\frac{\partial p}{\partial r}\right|_{r=a} = -\rho\,a_r(a,\theta) =4\rho\frac{U^{2}}{a}\operatorname{sen}^{2}\theta.}
Explico em palavras: a componente radial do gradiente de pressão é positiva para fora onde a velocidade tangencial é grande (porque a aceleração centrífuga negativa exige aumento de pressão radial).

Passo 6

Calcular a componente angular da aceleração convectiva em r=a:
a_\theta = V_r\frac{\partial V_\theta}{\partial r} + \frac{V_\theta}{r}\frac{\partial V_\theta}{\partial \theta} + \frac{V_r V_\theta}{r}.
Em r=a, V_r(a,\theta)=0, então primeiros e terceiro termos são zero; resta o termo médio:
a_\theta(a,\theta) = \frac{V_\theta(a,\theta)}{a}\cdot\left.\frac{\partial V_\theta}{\partial \theta}\right|_{r=a} = \frac{2U\operatorname{sen}\theta}{a}\cdot(2U\cos\theta) = \frac{4U^{2}\operatorname{sen}\theta\cos\theta}{a}.
Usando \dfrac{\partial p}{\partial \theta} = -\rho\,r\,a_\theta e avaliando em r=a:
\boxed{\displaystyle \left.\frac{\partial p}{\partial \theta}\right|_{r=a} = -\rho a\,a_\theta(a,\theta) = -\rho a\cdot\frac{4U^{2}\operatorname{sen}\theta\cos\theta}{a} = -4\rho U^{2}\operatorname{sen}\theta\cos\theta.}
Alternativamente pode-se escrever \left.\dfrac{\partial p}{\partial \theta}\right|_{r=a}=-2\rho U^{2}\operatorname{sen}(2\theta).

Passo 7

Agora a segunda parte: obter e descrever o gráfico da velocidade V ao longo da linha radial \theta=\pi/2 para r>a.
A velocidade escalar (magnitude) é V=\sqrt{V_r^{2}+V_\theta^{2}}. Para \theta=\pi/2 tem-se \cos(\pi/2)=0 e \operatorname{sen}(\pi/2)=1. Assim:
V_r(r,\pi/2)=0, \qquad V_\theta(r,\pi/2)=U\Bigl(\frac{a^{2}}{r^{2}}+1\Bigr).
Logo, para r>a,
\boxed{\displaystyle V(r,\theta=\pi/2)=U\Bigl(1+\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr).}
Análise do comportamento desta função (para desenhar o gráfico sem calculadora):
  • Em r=a: V(a,\pi/2)=U(1+1)=2U.
  • Quando r\to\infty: a^{2}/r^{2}\to 0, então V\to U. Assim o valor tende assintoticamente para U à medida que r cresce.
  • Derivada em r: \dfrac{dV}{dr}=U\cdot\left(-2\frac{a^{2}}{r^{3}}\right)<0 para r>0. Portanto V(r) é monótona estritamente decrescente para r>a.
  • Forma do gráfico: começa em V=2U em r=a e decresce suavemente, aproximando-se de U quando r cresce, sem jamais ficar abaixo de U.
Uma representação esquemática (vertical é V, horizontal é r):
r: a --------> ∞
V:
2U |●
| \
| \ (função decrescente)
|
| ●--------- (assíntota em U)
U |
Isso é suficiente para traçar o gráfico em prova: plotar V(r)=U\bigl(1+a^{2}/r^{2}\bigr) para r\ge a, pontuar V(a)=2U e assíntota V\to U.

Resposta

\displaystyle \left.\frac{\partial p}{\partial r}\right|_{r=a}=4\rho\frac{U^{2}}{a}\operatorname{sen}^{2}\theta
\displaystyle \left.\frac{\partial p}{\partial \theta}\right|_{r=a}=-4\rho U^{2}\operatorname{sen}\theta\cos\theta
\displaystyle V(r,\theta=\pi/2)=U\Bigl(1+\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr)

Exercícios relacionados