6.23 Escoamento permanente, incompressível e sem atrito, da direita para a esquerda, sobre um cilindro circular estacionário de raio a é dado pelo campo de velocidade
Considere o escoamento ao longo da linha de corrente que forma a superficie do cilindro, r=a. Expresse as componentes do gradiente de pressão em termos do ângulo \theta. Trace um gráfico da velocidade V como função de r ao longo da linha radial \theta=\pi / 2 para \mathrm{r}>a.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades (em coordenadas cilíndricas (r,\theta)):
Expressar as componentes do gradiente de pressão ao longo da linha de corrente que é a superfície do cilindro, isto é, em r=a, em função do ângulo \theta. Ou seja, determinar \dfrac{\partial p}{\partial r} e \dfrac{\partial p}{\partial \theta} avaliadas em r=a como funções de \theta.
Traçar (descrever) o gráfico da velocidade V como função de r ao longo da linha radial \theta=\pi/2 para r>a.
Informações relevantes dadas:
U e a são constantes positivas.
O escoamento é permanente, incompressível e sem atrito (campo de Euler/potencial).
Componentes do campo: V_r(r,\theta)=U\bigl((a/r)^2-1\bigr)\cos\theta e V_\theta(r,\theta)=U\bigl((a/r)^2+1\bigr)\operatorname{sen}\theta.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas que usaremos (explicadas passo a passo):
Equação de Euler para escoamento incomp., inviscido e permanente relaciona aceleração convectiva e gradiente de pressão:
\rho (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} = -\nabla p,
onde \rho é a densidade do fluido (constante), \vec{V} a velocidade e p a pressão. O termo (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a aceleração convectiva: descreve como a velocidade muda ao seguir uma partícula fluida.
Em coordenadas cilíndricas (somente componentes no plano r,\theta), as componentes da aceleração convectiva são:
Estas fórmulas vêm da expansão de (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} em coordenadas cilíndricas — cada termo tem interpretação física: derivadas radiais e angulares e termos geométricos como -V_\theta^2/r (aceleração centrífuga).
O gradiente de pressão em coordenadas cilíndricas é \nabla p = \dfrac{\partial p}{\partial r}\hat{e}_r + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial p}{\partial \theta}\hat{e}_\theta. Assim, a igualdade com Euler dá, componente a componente,
Avaliação em r=a: como V_r(a,\theta)=0 e \left.\partial V_r/\partial\theta\right|_{r=a}=0, os dois primeiros termos são zero, resta apenas o termo centrífugo:
Explico em palavras: a componente radial do gradiente de pressão é positiva para fora onde a velocidade tangencial é grande (porque a aceleração centrífuga negativa exige aumento de pressão radial).
Passo 6
Calcular a componente angular da aceleração convectiva em r=a: