(30 pts) Considere a matriz
A=[llll 1 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 2 1 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 2 ]
(a) (10 pts) Determine se A é invertível;
(b) (16 pts) Caso seja invertível, calcule a matriz inversa;
(c) (2 pts) Resolva o sistema linear A x=b, sendo a matriz coluna dos termos independentes b^T=[llll2 & 0 & -1 & 1];
(d) (2 pts) Resolva o sistema linear A x=b, sendo a matriz coluna dos termos independentes b^T=[llll1 & 0 & 0 & 2].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 2 1 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 2
e pede:
(a) verificar se A é invertível (criterium de determinante não nulo);
(b) calcular A^-1 caso ela seja invertível (usando Gauss–Jordan);
(c) resolver Ax=b para b^T=(2,0,-1,1) (usando x=A^-1b);
(d) resolver Ax=b para b^T=(1,0,0,2).

Passo 2

Para determinar det(A) fazemos escalonamento por operações elementares:
  1. R3 R3-R1, R4 R4-R1 (não alteram o determinante).
  2. Troca R2rightarrow R3 (muda o sinal de det).
  3. Eliminações subsequentes transformam a matriz em triangular superior com pivôs na diagonal (1,1,1,-1).
    Assim, antes da troca a diagonal seria (1,2,*,*) mas a troca nos dá produto dos pivôs 1cdot1cdot1cdot(-1)=-1; o sinal da troca faz det(A)= -(-1)=1.

Passo 3

Como det(A)=1neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 4

Para achar A^-1 montamos l[Amid I4r] e aplicamos as mesmas operações do passo anterior, mais escalonamentos para tornar cada pivô igual a 1 e eliminações acima dos pivôs. O resultado final é
A^-1 = -2 & -1 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 & 0 -4 & -1 & 2 & 2 3 & 1 & -2 & -1

Passo 5

Para b^T=(2,0,-1,1), temos
x = A^-1b = -2 & -1 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 & 0 -4 & -1 & 2 & 2 3 & 1 & -2 & -1 20-11 = -5-3-87

Passo 6

Para b^T=(1,0,0,2), calculamos
x = A^-1b = -2 & -1 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 & 0 -4 & -1 & 2 & 2 3 & 1 & -2 & -1 1002 = 0-101

Resposta

(a) A é invertível, pois det(A)=1neq0.
(b)
A^-1= -2 & -1 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 & 0 -4 & -1 & 2 & 2 3 & 1 & -2 & -1
(c) Para b^T=(2,0,-1,1),
x = -5-3-87
(d) Para b^T=(1,0,0,2),
x = 0-101

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