Mostre que as retas com equações simétricas x=y=z e x+1=y / 2=z / 3 são reversas e determine a distância entre elas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as retas
L1:;x=y=z
e
L2:;x+1= y2= z3
são reversas (isto é, não se cortam nem são paralelas) e depois calcular a distância entre elas. Vamos usar parametrização vetorial para cada reta, verificar que seus vetores diretores não são múltiplos e que não há solução comum, e então aplicar a fórmula da distância entre retas reversas:
d=l|(r0,2-r0,1)cdot(v1times v2)r||,v1times v2|,

Passo 2

Parametrizamos L1. Como x=y=z, tomamos um parâmetro tinR e escrevemos
r1(t)=(t,t,t)
Logo o ponto inicial pode ser r0,1=r1(0)=(0,0,0) e o vetor diretor de L1 é
v1=(1,1,1)

Passo 3

Parametrizamos L2. Seja sinR o valor comum s=x+1=y/2=z/3. Então
x=s-1, y=2s, z=3s,
isto é,
r2(s)=(s-1,,2s,,3s)
Podemos tomar r0,2=r2(0)=(-1,0,0) e o vetor diretor de L2 é
v2=(1,2,3)

Passo 4

Verificamos que L1 e L2 são reversas:
  1. Não são paralelas porque v1=(1,1,1) não é múltiplo escalar de v2=(1,2,3).
  2. Não se cortam pois resolver (t,t,t)=(s-1,2s,3s) leva a t=2s e t=3s simultaneamente, o que só dá solução trivial s=0,t=0 que não satisfaz t=s-1. Logo não há interseção.

Passo 5

Calculamos a distância entre retas reversas pela fórmula
d=l|(r0,2-r0,1)cdot(v1times v2)r||,v1times v2|
Aqui
r0,2-r0,1=(-1,0,0), v1times v2 = i&j&k 1&1&1 1&2&3 =(1,-2,1)
Então
(r0,2-r0,1)cdot(v1times v2)=(-1,0,0)cdot(1,-2,1)=-1,
e
|,v1times v2|=raiz1^2+(-2)^2+1^2=raiz6
Portanto
d=|-1|raiz6=1raiz6

Resposta

As retas são reversas e a distância entre elas é tfrac1raiz6.

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