Mostre que as retas com equações simétricas são reversas e determine a distância entre elas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que as retas
e
são reversas (isto é, não se cortam nem são paralelas) e depois calcular a distância entre elas. Vamos usar parametrização vetorial para cada reta, verificar que seus vetores diretores não são múltiplos e que não há solução comum, e então aplicar a fórmula da distância entre retas reversas:
Passo 2
Parametrizamos L1. Como x=y=z, tomamos um parâmetro tinR e escrevemos
r1(t)=(t,t,t)
Logo o ponto inicial pode ser r0,1=r1(0)=(0,0,0) e o vetor diretor de L1 é
v1=(1,1,1)
Passo 3
Parametrizamos L2. Seja sinR o valor comum s=x+1=y/2=z/3. Então
x=s-1, y=2s, z=3s,
isto é,
r2(s)=(s-1,,2s,,3s)
Podemos tomar r0,2=r2(0)=(-1,0,0) e o vetor diretor de L2 é
v2=(1,2,3)
Passo 4
Verificamos que L1 e L2 são reversas:
Não são paralelas porque v1=(1,1,1) não é múltiplo escalar de v2=(1,2,3).
Não se cortam pois resolver (t,t,t)=(s-1,2s,3s) leva a t=2s e t=3s simultaneamente, o que só dá solução trivial s=0,t=0 que não satisfaz t=s-1. Logo não há interseção.
Passo 5
Calculamos a distância entre retas reversas pela fórmula