(30 pts) Considere os vetores u=(3,1,0) e v=(3,0,1).
(a) (20 pts) Determine um vetor unitário w sabendo que w é ortogonal a u e v e que forma um ângulo agudo com k.
(b) (10 pts) Calcule o volume do paralelepípedo determinada pelos vetores u, v e w.

Passo 1

Temos vec u=(3,1,0) e vec v=(3,0,1).
(a) Queremos um vetor unitário vec w ortogonal a vec u e vec v e com ângulo agudo em relação a vec k=(0,0,1).
(b) Em seguida, calculamos o volume do paralelepípedo gerado por vec u,vec v,vec w.
Para (a) usamos produto vetorial e normalização; para (b) usamos módulo do triplo escalar ou área da base vezes altura.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial vec utimesvec v, que é ortogonal a ambos:
vec utimesvec v = det i&j&k 3&1&0 3&0&1 = (1,,-3,,-3)

Passo 3

O vetor (1,-3,-3) é ortogonal a vec u e vec v, mas sua componente em k é -3, o que dá ângulo obtuso com vec k. Invertendo o sinal, temos
-(vec utimesvec v)=(-1,3,3), cuja terceira componente é 3>0, garantindo ângulo agudo com vec k.

Passo 4

Normalizamos para obter vec w unitário:
|vec utimesvec v| = raiz1^2+(-3)^2+(-3)^2 = raiz19,
vec w = -(vec utimesvec v)|vec utimesvec v| = gl(-1raiz19,,3raiz19,,3raiz19gr)

Passo 5

O volume do paralelepípedo gerado por vec u,vec v,vec w é
a área da base |vec utimesvec v|=raiz19 vezes a altura, que é |vec wcdotn| com n normal à base. Como vec w é unitário e paralelo a n, essa altura vale 1. Logo o volume é raiz19.

Resposta

(a) vec w=l(-tfrac1raiz19,,tfrac3raiz19,,tfrac3raiz19r).
(b) V=raiz19

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