(30 pts) Considere os vetores e .
(a) (20 pts) Determine um vetor unitário sabendo que é ortogonal a e e que forma um ângulo agudo com .
(b) (10 pts) Calcule o volume do paralelepípedo determinada pelos vetores e .
Passo 1
Temos e .
(a) Queremos um vetor unitário ortogonal a e e com ângulo agudo em relação a .
(b) Em seguida, calculamos o volume do paralelepípedo gerado por .
Para (a) usamos produto vetorial e normalização; para (b) usamos módulo do triplo escalar ou área da base vezes altura.
Passo 2
Calculemos o produto vetorial , que é ortogonal a ambos:
Passo 3
O vetor (1,-3,-3) é ortogonal a vec u e vec v, mas sua componente em k é -3, o que dá ângulo obtuso com vec k. Invertendo o sinal, temos -(vec utimesvec v)=(-1,3,3), cuja terceira componente é 3>0, garantindo ângulo agudo com vec k.
vec w = -(vec utimesvec v)|vec utimesvec v| = gl(-1raiz19,,3raiz19,,3raiz19gr)
Passo 5
O volume do paralelepípedo gerado por vec u,vec v,vec w é
a área da base |vec utimesvec v|=raiz19 vezes a altura, que é |vec wcdotn| com n normal à base. Como vec w é unitário e paralelo a n, essa altura vale 1. Logo o volume é raiz19.