S-3.30 Resolva o seguinte sistema de equações:
l mdc(x, y)=6 mmc(x, y)=60

Passo 1

O enunciado pede todos os pares inteiros positivos (x,y) tais que
gcd(x,y)=6 e lcm(x,y)=60
O conteúdo envolve propriedades de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, em particular
x,y = gcd(x,y),lcm(x,y)

Passo 2

Aplicando a fórmula acima fica
x,y = 6 times 60 = 360

Passo 3

Defina
a = x6, b = y6
Então gcd(a,b)=1 e
lcm(a,b)=606=10
Além disso, de x,y=360 segue
a,b = x,y6cdot6 = 36036 = 10

Passo 4

Procuramos todos os pares positivos (a,b) com a,b=10 e gcd(a,b)=1. Os divisores positivos de 10 são 1,2,5,10, e os pares que têm produto 10 e são primos entre si são
(a,b) in (1,10),,(2,5),,(5,2),,(10,1)

Passo 5

Voltando a (x,y)=(6a,6b), obtemos as soluções
(x,y)in(6,60),,(12,30),,(30,12),,(60,6)

Resposta

(x,y)=(6,60),,(12,30),,(30,12) ou (60,6).

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