Justificar as afirmações abaixo:
a) lim x p f(x)=L Long<=ftrightarrow lim x p(f(x)-L)=0 Long<=ftrightarrow lim x p|f(x)-L|=0.
b) lim x p f(x)=L Longrightarrow lim x p|f(x)|=|L|, mas a volta pode não valer se L neq 0. Faça desenhos para pensar. (Dica: use o Exercício 13).
c) lim x p f(x)=0 Long<=ftrightarrow lim x p|f(x)|=0.

Passo 1

Resumindo: queremos justificar transformações de limites de funções envolvendo soma de constante e valor absoluto. O conteúdo é a definição varepsilon de<a de limite e propriedades elementares como a desigualdade triangular e a continuidade de funções simples (por ex. |cdot|).

Passo 2

Prova de
limxto pf(x)=L ;Long<=ftrightarrow;limxto pl(f(x)-Lr)=0
Suponha limxto pf(x)=L. Então, dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-p|<de<a, temos
|f(x)-L|<varepsilon
Por outro lado
l|(f(x)-L)-0r|=|f(x)-L|,
logo os mesmos varepsilon, de<a servem para mostrar limxto p(f(x)-L)=0. A recíproca é idêntica trocando f(x) por f(x)-L e L por 0.

Passo 3

Prova de
limxto pl(f(x)-Lr)=0 ;Long<=ftrightarrow;limxto pl|f(x)-Lr|=0
Pela definição, lim(f(x)-L)=0 significa que para todo varepsilon>0 existe de<a tal que, se 0<|x-p|<de<a, então
|f(x)-L|<varepsilon
Mas isto equivale exatamente a
l||f(x)-L|-0r|<varepsilon,
oque diz que lim|f(x)-L|=0. A recíproca segue trocando |f(x)-L| por f(x)-L.

Passo 4

Prova de
limxto pf(x)=LLongrightarrowlimxto p|f(x)|=|L|
Como |cdot| é contínua, usamos a desigualdade
l||f(x)|-|L|r|<=|f(x)-L|
Dado varepsilon>0, escolha de<a para garantir |f(x)-L|<varepsilon sempre que 0<|x-p|<de<a. Então
l||f(x)|-|L|r|<=|f(x)-L|<varepsilon,
o que prova o resultado.

Passo 5

Contraexemplo à recíproca de b) quando
Então para todo , logo
Mas oscila entre e ao se aproximar de , de modo que não existe. Num gráfico vemos dois ramos horizontais em e com salto em .

Passo 6

Para c) basta tomar L=0 em a). Temos
limxto pf(x)=0;Long<=ftrightarrow;limxto pl(f(x)-0r)=0;Long<=ftrightarrow;limxto pl|f(x)-0r|=0,
ou seja
limxto pf(x)=0Long<=ftrightarrowlimxto p|f(x)|=0

Resposta

As equivalências e implicações pedidas foram demonstradas nos passos acima.

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