Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de .
(c) Encontre a solução de que satisfaz
.
(b) Encontre a solução geral de .
(c) Encontre a solução de que satisfaz
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede: (a) mostrar que ela não é exata e que
é fator integrante; (b) encontrar a solução geral; (c) determinar a solução que satisfaz
. Vamos usar testes de exatidão, fator integrante em função de
, e, em seguida, resolver por potenciais.
Passo 2
Escrevamos no formato
, isto é
Calculamos
e vemos que
, logo a equação não é exata. Agora testamos um fator integrante que dependa apenas de
. Observando que multiplicar por
simplifica os termos em
, propomos
.
Passo 3
Multiplicamos a equação por
. Definindo
verificamos
logo
é exata.
Passo 4
Como é exata, existe
tal que
Integramos em
:
Agora impomos
:
Portanto a solução geral implícita é
ou, escrevendo de modo equivalente,
Passo 5
Para determinar a solução que satisfaz
, substituímos
em
:
logo
. A solução implícita particular é
Se quiser a forma explícita em
, note que isso é uma equação quadrática em
:
e escolhemos o sinal “
” no discriminante para que
.
Resposta
(a) A equação não é exata, e
é um fator integrante.
(b) Solução geral (implícita):
(b) Solução geral (implícita):
(c) Solução que satisfaz
:
ou explicitamente