Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial não é exata e que é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de .
(c) Encontre a solução de que satisfaz .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2y^2 + 2yx + l(2xy + 2 + yxr),y' = 0
e pede: (a) mostrar que ela não é exata e que mu(x)=x é fator integrante; (b) encontrar a solução geral; (c) determinar a solução que satisfaz y(1)=1. Vamos usar testes de exatidão, fator integrante em função de x, e, em seguida, resolver por potenciais.

Passo 2

Escrevamos no formato M(x,y)+N(x,y),y'=0, isto é
M(x,y)=2y^2+2yx, N(x,y)=2xy+2+yx
Calculamos
partial Mpartial y =4y+2x, partial Npartial x =2y-yx^2,
e vemos que partial M/partial yneqpartial N/partial x, logo a equação não é exata. Agora testamos um fator integrante que dependa apenas de x. Observando que multiplicar por x simplifica os termos em 1/x, propomos mu(x)=x.

Passo 3

Multiplicamos a equação por x. Definindo
widetilde M(x,y)=x,M=2x,y^2+2y, widetilde N(x,y)=x,N=2x^2y+2x+y,
verificamos
partial widetilde Mpartial y =4xy+2, partial widetilde Npartial x =4xy+2,
logo widetilde M,dx+widetilde N,dy=0 é exata.

Passo 4

Como é exata, existe Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=widetilde M=2x,y^2+2y
Integramos em x:
Phi(x,y) =integral(2x,y^2+2y),dx =x^2y^2+2xy+h(y)
Agora impomos partialPhi/partial y=widetilde N:
partialPhipartial y =2x^2y+2x+h'(y) stackrel!=2x^2y+2x+y ;Longrightarrow; h'(y)=y ;Longrightarrow; h(y)=y^22
Portanto a solução geral implícita é
Phi(x,y) =x^2y^2+2xy+y^22 =C,
ou, escrevendo de modo equivalente,
x^2y^2+2xy+tfrac12,y^2=C

Passo 5

Para determinar a solução que satisfaz y(1)=1, substituímos (x,y)=(1,1) em Phi=C:
1^2cdot1^2+2cdot1cdot1+1^22 =1+2+tfrac12=72,
logo C=7/2. A solução implícita particular é
x^2y^2+2xy+y^22=72
Se quiser a forma explícita em y(x), note que isso é uma equação quadrática em y:
l(2x^2+1r)y^2+4x,y-7=0 ;Longrightarrow; y(x) =-4x+raiz16x^2+28(2x^2+1)2(2x^2+1) =-2x+raiz18x^2+72x^2+1,
e escolhemos o sinal “ +” no discriminante para que y(1)=1.

Resposta

(a) A equação não é exata, e mu(x)=x é um fator integrante.
(b) Solução geral (implícita):
x^2y^2+2xy+y^22=C
(c) Solução que satisfaz y(1)=1:
x^2y^2+2xy+y^22=72,
ou explicitamente
y(x)=-2x+raiz18x^2+72x^2+1

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