S-3.32 Observe que [mdc(x, y)]^2 divide x y, quaisquer que sejam x, y in Z, não nulos.
Mostre que se o seguinte sistema:
l mdc(x, y)=d x y=m
é tal que d^2 nmid m, ele não admite solução. Mostre que se d^2 mid m, o sistema sempre admite solução.

Passo 1

O enunciado pede condições de existência de solução inteira para o sistema
mdc(x,y)=d, xy=m,
onde x,yinZsetminus0.
O conteúdo principal é teoria de divisibilidade e de máximo divisor comum (mdc).

Passo 2

(Necessidade) Suponha que exista solução (x,y). Pela propriedade do mdc, escrevemos
x=d,x', y=d,y', com mdc(x',y')=1
Então
m=xy=d^2,x'y',
o que mostra que d^2 divide m. Logo, se d^2nmid m, não pode haver solução.

Passo 3

(Suficiência) Agora suponha d^2mid m. Escreva
m=d^2,m'
para algum m'inZ. Basta escolher
x=d,m', y=d
Então
mdc(x,y) =mdc(d,m',,d) =dcdotmdc(m',1) =d
e
xy=(d,m')cdot d=d^2,m'=m
Portanto, sempre existe solução.

Resposta

O sistema admite solução se, e somente se, d^2mid m; caso contrário ( d^2nmid m) não admite solução.

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