S-3.32 Observe que
divide
, quaisquer que sejam
, não nulos.
Mostre que se o seguinte sistema:
é tal que
, ele não admite solução. Mostre que se
, o sistema sempre admite solução.
Passo 1
O enunciado pede condições de existência de solução inteira para o sistema
onde
.
O conteúdo principal é teoria de divisibilidade e de máximo divisor comum (mdc).
O conteúdo principal é teoria de divisibilidade e de máximo divisor comum (mdc).
Passo 2
(Necessidade) Suponha que exista solução
. Pela propriedade do mdc, escrevemos
Então
o que mostra que
divide
. Logo, se
, não pode haver solução.
Passo 3
(Suficiência) Agora suponha
. Escreva
para algum
. Basta escolher
Então
e
Portanto, sempre existe solução.
Resposta
O sistema admite solução se, e somente se,
; caso contrário (
) não admite solução.