Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\frac{x{2}}{\left(1+x{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x)

Passo 1

No enunciado queremos calcular a integral
integral x^2(1+x^2)^2,dx
utilizando a técnica de integração por partes. Vamos separar um fator de x em cada parte para aplicar
integral u,dv = u v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = x(1+x^2)^2,dx
Então
du = dx e v = integral x(1+x^2)^2,dx
Para achar v, use a substituição t = 1+x^2, de modo que dt = 2x,dx. Logo
v = integral xt^2,dx = 12integral t^-2,dt = -12t = -12(1+x^2)

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes,
integral x^2(1+x^2)^2,dx = u,v - integral v,du = x!l(-tfrac12(1+x^2)r) - integral l(-tfrac12(1+x^2)r),dx
Isto é,
integral x^2(1+x^2)^2,dx = -x2(1+x^2) + 12integral 11+x^2,dx

Passo 4

Calculamos a integral remanescente, que é a forma clássica:
integral 11+x^2,dx = arctan x

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
integral x^2(1+x^2)^2,dx = -x2(1+x^2) + 12,arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-x2(1+x^2) + 12arctan x + C

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