1.4N Seja f: R R uma função derivável tal que f(x)>-1, forall x, e lim x infty f(x)=0. Dê exemplo de uma tal função e calcule o limite da seqüência an=ln (1+f(n))f(n).

Passo 1

O enunciado pede uma função fcolon RtoR diferenciável tal que f(x)>-1 para todo x e limxtoinftyf(x)=0, e em seguida deseja o limite da sequência
an=lnl(1+f(n)r)f(n)
O conteúdo envolve limites de funções e de sequências, em particular o limite fundamental
limuto0ln(1+u)u=1

Passo 2

Uma escolha simples é
f(x)=e^-x
De fato, f é diferenciável em R, satisfaz f(x)=e^-x>0>-1 e
limxtoinftye^-x=0

Passo 3

Para ninN temos f(n)=e^-n, logo
an=lnl(1+e^-nr)e^-n
Como e^-nto0 quando ntoinfty, aplicamos o limite fundamental com u=e^-n:
limntoinftyan =limuto0ln(1+u)u =1

Resposta

Exemplo: f(x)=e^-x.
E limntoinftyan=1.

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