Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int x \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x cos^2(x),dx
usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar da identidade trigonométrica para cos^2(x) e da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Antes de aplicar partes, calculamos
v = integral cos^2(x),dx
Usando cos^2(x)=1+cos(2x)2, temos
integral cos^2(x),dx = integral 1+cos(2x)2,dx = x2 + sin(2x)4 + C1

Passo 3

Definimos em partes
u = x, dv = cos^2(x),dx
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du = dx, v = x2 + sin(2x)4
Aplicando a fórmula,
integral x cos^2(x),dx = u,v - integral v,du = xl(x2+sin(2x)4r) - integrall(x2+sin(2x)4r),dx

Passo 4

Expandimos e integramos cada termo:
integral x cos^2(x),dx = x^22 + xsin(2x)4 - 12integral x,dx - 14integral sin(2x),dx
Sabendo que
integral x,dx = x^22, integral sin(2x),dx = -cos(2x)2,
segue
integral x cos^2(x),dx = x^22 + xsin(2x)4 - 12cdotx^22 - 14l(-cos(2x)2r)+C
Simplificando,
integral x cos^2(x),dx = x^24 + xsin(2x)4 + cos(2x)8 + C

Resposta

integral x cos^2(x),dx = x^24 + xsin(2x)4 + cos(2x)8 + C

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