1.4M Seja f: R R uma função derivável com f(0)=0. Calcule lim n infty n f(1n). Quanto vale lim n infty n arctg(1n) ?

Passo 1

O enunciado diz que f:RtoR é derivável e que f(0)=0. Precisamos calcular
limntoinftyn,fl(tfrac1nr)
e em seguida
limntoinftyn,arctgl(tfrac1nr)
O conteúdo chave é usar a definição de derivada em zero.

Passo 2

Repare que
n,fl(tfrac1nr) =fl(tfrac1nr)-f(0)tfrac1n-0
porque f(0)=0. Como xn=tfrac1nto0, esse quociente tende exatamente a
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0
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limntoinftyn,fl(tfrac1nr)=f'(0)

Passo 3

Para a segunda parte, defina g(x)=arctg(x). Sabemos que g(0)=0 e que
g'(x)=11+x^2,
portanto
g'(0)=11+0^2=1
Aplicando o mesmo raciocínio de antes:
n,arctgl(tfrac1nr) =gl(tfrac1nr)-g(0)tfrac1n-0 ;xrightarrow[ntoinfty];g'(0)=1

Resposta

limntoinftyn,fl(tfrac1nr)=f'(0)
limntoinftyn,arctgl(tfrac1nr)=1

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