33 Ache uma base para o complemento ortogonal no V3(R) do subespaço gerado por (4,7,-2).

Passo 1

O enunciado pede uma base para o complemento ortogonal em R^3 do subespaço
W=span(4,7,-2).
O conteúdo é o conceito de complemento ortogonal (com produto escalar canônico) e vamos precisar resolver uma equação linear para encontrar todos os vetores ortogonais a (4,7,-2).

Passo 2

Um vetor (x,y,z) pertence a W^perp se e somente se
lang<= (x,y,z),,(4,7,-2)rang<= ;=;0,
isto é,
4x + 7y - 2z ;=;0

Passo 3

A equação
4x + 7y - 2z = 0
é uma condição linear em (x,y,z). Como há uma equação em três incógnitas, o espaço solução tem dimensão 2. Para encontrar uma base, basta achar dois vetores independentes que satisfaçam essa condição.

Passo 4

Escolhemos valores simples para duas variáveis e resolvemos para a terceira:
1. Se y=0 e z=2, então
4x - 2 cdot 2 = 0 ;Longrightarrow; 4x = 4 ;Longrightarrow; x = 1,
gerando o vetor
v1 = (1,0,2).
2. Se y=4 e z=0, então
4x + 7 cdot 4 = 0 ;Longrightarrow; 4x = -28 ;Longrightarrow; x = -7,
gerando o vetor
v2 = (-7,4,0).
Verifica-se facilmente que ambos satisfazem 4x + 7y - 2z = 0 e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para W^perp é
(1,0,2),,(-7,4,0)

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