33 Ache uma base para o complemento ortogonal no
do subespaço gerado por
.
Passo 1
O enunciado pede uma base para o complemento ortogonal em
do subespaço
.
O conteúdo é o conceito de complemento ortogonal (com produto escalar canônico) e vamos precisar resolver uma equação linear para encontrar todos os vetores ortogonais a .
O conteúdo é o conceito de complemento ortogonal (com produto escalar canônico) e vamos precisar resolver uma equação linear para encontrar todos os vetores ortogonais a
Passo 2
Um vetor
pertence a
se e somente se
isto é,
Passo 3
A equação
é uma condição linear em
. Como há uma equação em três incógnitas, o espaço solução tem dimensão
. Para encontrar uma base, basta achar dois vetores independentes que satisfaçam essa condição.
Passo 4
Escolhemos valores simples para duas variáveis e resolvemos para a terceira:
gerando o vetor
.
gerando o vetor
.
Verifica-se facilmente que ambos satisfazem
e são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para
é