(30 \%) Suponha que uma firma que opera num mercado de concorrência perfeita possua curva de custo total dada por C T=70+6 q+0,5 q^{2}. A partir desta curva, responda às seguintes questões:
a) A curva de custo total da firma representa uma situação de curto ou longo prazo? Por quê?
b) Se a empresa se depara com um preço de mercado igual a \ 24,00 , que quantidade ela deve vender para maximizar os seus lucros? c) Que lucro a empresa obtém a esse preço? Considerando este lucro, a empresa deve interromper suas operações? Por quê? d) Se o preço do mercado cair para \(\\) 10, qual a quantidade a firma deve produzir?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dado: a curva de custo total da firma é CT = 70 + 6q + 0,5 q^{2}.
  • Perguntas:
    a) A curva de custo total representa situação de curto ou longo prazo? Por quê?
    b) Se o preço de mercado é \$24,00, qual quantidade q maximiza o lucro?
    c) Quanto é o lucro a esse preço? Com esse lucro a empresa deve interromper as operações? Por quê?
    d) Se o preço cair para \$10,00, qual quantidade a firma deve produzir?

Passo 2

Interpretação dos termos do custo e distinção curto vs longo prazo (fórmulas e significado).
  • Em economia, o custo total CT costuma ser separado em custo fixo CF e custo variável CV: CT = CF + CV.O custo fixo é o componente que não depende de q (quantidade), e o custo variável depende de q.
  • Aqui, identificamos diretamente em CT que o termo independente de q é 70. Logo: CF = 70,\qquad CV = 6q + 0,5 q^{2}.
  • Interpretação: a presença de um custo fixo positivo ( CF=70) indica que existe pelo menos uma despesa que não varia com a produção no horizonte considerado. Esse é o traço típico do curto prazo (no longo prazo todos os custos podem variar e não há custos fixos obrigatórios).
  • Conclusão conceitual (sem responder ainda no campo final): a presença de custo fixo implica que a função dada descreve uma situação de curto prazo.

Passo 3

Cálculos das funções importantes (marginal, médio variável, médio total) e explicação de como usar cada uma.
  • Marginal cost ( MC) é a derivada do custo total em relação a q. Ele indica o acréscimo do custo total quando se produz uma unidade adicional: MC(q)=\frac{d\,CT}{d q}.Aplicando à função dada: MC(q)=\frac{d}{d q}\bigl(70+6q+0,5 q^{2}\bigr)=6+q.Explicação: derive termo a termo: derivada de 70 é 0, de 6q é 6, de 0,5 q^{2} é 0,5\cdot 2 q = q.
  • Custo variável total CV(q)=6q+0,5 q^{2}. O custo variável médio ( AVC) é CV/q: AVC(q)=\frac{CV(q)}{q}=\frac{6q+0,5 q^{2}}{q}=6+0,5 q.Interpretação: AVC mostra o custo variável por unidade produzida.
  • Custo total médio ( ATC) é CT/q: ATC(q)=\frac{CT(q)}{q}=\frac{70+6q+0,5 q^{2}}{q}= \frac{70}{q}+6+0,5 q.Interpretação: ATC é o custo por unidade considerando todas as despesas (fixas + variáveis).

Passo 4

Princípio de maximização de lucro em concorrência perfeita e regra de desligamento (shutdown).
  • Em concorrência perfeita, a firma é “tomadora de preço”: o preço p é dado. A condição de maximização de lucro (quando produzir uma quantidade positiva) é: p = MC(q^*)desde que o preço cubra os custos variáveis médios mínimos (i.e., p \ge AVC_{\min}). Se p < AVC_{\min}, a firma reduz a produção a zero no curto prazo (desliga), pois não consegue cobrir os custos variáveis.
  • Para saber se produzir mesmo com prejuízo, comparamos p com AVC_{\min}. Se p \ge AVC_{\min} produza a q tal que p=MC. Se p < AVC_{\min} então q=0.
  • Para encontrar AVC_{\min}: AVC(q)=6+0,5 q. Esta é uma função linear crescente (derivada 0,5>0), logo o menor valor ocorre quando q é tão pequeno quanto possível; o limite quando q\to 0 dá o valor mínimo de AVC. Assim: AVC_{\min}=\lim_{q\to 0^+} (6+0,5 q)=6.Interpretação simples: o menor custo variável por unidade que se pode alcançar (no sentido da função) é 6.

Passo 5

Resposta à pergunta (b): preço p=\$24, encontrar q que maximiza lucro.
  • Regra: produzir a quantidade q tal que p=MC(q) (e verificar p\ge AVC_{\min}).
  • Igualando: p=24 = MC(q)=6+q.Isolando q: q = 24 - 6 = 18.
  • Verificação de shutdown: comparando com AVC_{\min}=6, temos p=24>6, portanto a condição de produzir é satisfeita. Assim q^*=18 é ótimo.

Passo 6

Cálculo do lucro àquele preço e avaliação se deve interromper operações (pergunta c).
  • Receita total ( TR) em q=18: TR = p\cdot q = 24\cdot 18 = 432.
  • Custo total em q=18: CT(18)=70+6\cdot 18 +0,5\cdot 18^{2}.Calcule passo a passo: 6\cdot 18 = 108,\qquad 18^{2}=324,\qquad 0,5\cdot 324 = 162.Então CT(18)=70+108+162 = 340.
  • Lucro ( \pi) é TR-CT: \pi = 432 - 340 = 92.Ou seja, lucro positivo de \$92.
  • Decisão sobre interromper operações: como o lucro é positivo, não só a firma não deve interromper as operações, como claramente está obtendo lucro econômico. Mesmo se fosse prejuízo porém com p\ge AVC_{\min}, a regra seria continuar no curto prazo; mas aqui lucro > 0 então continuar é a decisão óbvia.

Passo 7

Caso (d): preço p=\$10. Encontrar q e decidir produzir ou interromper.
  • Primeiro aplicar a condição de maximização: p=MC(q)=6+q. Então: 10 = 6 + q \quad\Rightarrow\quad q = 10 - 6 = 4.
  • Verificar condição de shutdown: comparar p com AVC_{\min}=6. Aqui p=10>6, logo a firma cobre o custo variável médio mínimo e deve produzir (não desligar).
  • Calcular resultado econômico (apenas para ver): receita total TR=10\cdot4=40. Custo total: CT(4)=70+6\cdot4+0,5\cdot4^{2}.Calcule: 6\cdot4=24,\qquad 4^{2}=16,\qquad 0,5\cdot16=8,
CT(4)=70+24+8=102.
Lucro:
\pi = TR-CT = 40 - 102 = -62.
Assim, a firma tem prejuízo contábil de \$62, mas como p>AVC_{\min} ela reduz prejuízos ao produzir (em vez de interromper), porque produz cobre parte dos custos fixos; no curto prazo é racional continuar produzindo.

Resposta

a) Curto prazo, porque há custo fixo CF=70 (termo independente de q).
b) q=18.
c) Lucro = \$92. Não deve interromper as operações, pois obtém lucro positivo (além de p\ge AVC).
d) q=4.

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