1. Uma empresa em uma indústria de competição perfeita possui uma função de custo total dada por C T=0,2 Q^{2}+6 Q+30. Com base nestas curvas, responda às seguintes questões:
    a) A curva de custo total representa uma situação de curto ou longo prazo? Por quê?
    b) Se a empresa se depara com um preço de mercado igual a $16, que quantidade ela deve vender para maximizar os seus lucros?
    c) Que lucro a empresa obtém a esse preço? Considerando este lucro, a empresa deve interromper suas operações?

Passo 1

Vou listar o que o enunciado nos dá e o que pede, passo a passo (só indicando dados e perguntas, sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Função do custo total: C_T = 0,2\,Q^{2} + 6\,Q + 30.
    • Em (b) e (c) a firma enfrenta preço de mercado P = \$16.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Dizer se a curva de custo total representa situação de curto ou longo prazo e justificar.
    • (b) Determinar a quantidade Q que maximiza o lucro quando P=\$16.
    • (c) Calcular o lucro correspondente a esse preço e decidir se a empresa deve interromper as operações.

Passo 2

Breve revisão das ideias que vamos usar (explicadas de forma bem direta, como se eu estivesse te ajudando na prova).
  • Receita total ( TR): é o preço vezes quantidade vendida.
    TR = P \cdot Q.
    Aqui P é o preço de mercado (a firma é tomadora de preço) e Q é a quantidade produzida.
  • Lucro ( \pi): diferença entre receita total e custo total.
    \pi = TR - C_T = P\cdot Q - C_T.
  • Custo fixo e custo variável:
    • Custo fixo ( FC): parte do custo que não depende de Q.
    • Custo variável ( C_V): parte do custo que depende de Q.
      A presença de um termo constante em C_T indica custo fixo (importante para curto/longo prazo).
  • Custo marginal ( MC): a variação do custo total quando se aumenta a produção em uma unidade (derivada de C_T em relação a Q). É a condição central para maximizar lucro em concorrência perfeita: se o preço é dado, a firma escolhe Q tal que
    P = MC,
    desde que P seja pelo menos tão grande quanto o custo variável médio mínimo (regra de interrupção no curto prazo).
  • Custo variável médio ( AVC) e regra de fechamento (shutdown rule):
    AVC = \frac{C_V}{Q}.
    No curto prazo, se P < \min AVC, a firma minimiza perdas interrompendo a produção ( Q=0). Se P \ge \min AVC, produz a quantidade onde P=MC.

Passo 3

Identificar custo fixo e custo variável a partir da função dada.
  • A função é C_T = 0,2\,Q^{2} + 6\,Q + 30.
  • O termo constante 30 não depende de Q, logo é o custo fixo: FC = 30.
  • O custo variável é a parte que depende de Q: C_V = 0,2\,Q^{2} + 6\,Q.
Essa identificação é direta e já responde implicitamente à lógica do curto prazo: existe FC>0, então existe um horizonte em que certos custos são fixos.

Passo 4

Calcular o custo marginal ( MC), que é a derivada de C_T em relação a Q.
  • Derivando termo a termo:
    • derivada de 0,2\,Q^{2} é 0,4\,Q (porque d(Q^2)/dQ = 2Q, e 0,2\cdot 2 = 0,4);
    • derivada de 6\,Q é 6;
    • derivada de 30 é 0.
  • Assim:
    MC = \frac{dC_T}{dQ} = 0,4\,Q + 6.
Explicando rapidinho: MC nos diz quanto custa produzir uma unidade extra; é a condição natural para comparar com o preço na concorrência perfeita.

Passo 5

Usar a condição de maximização de lucro P = MC (quando P é maior ou igual ao mínimo de AVC) para encontrar Q.
  • Igualando P ao MC: 16 = 0,4\,Q + 6.
  • Resolvendo: 0,4\,Q = 16 - 6 = 10,
Q = \frac{10}{0,4} = 25.
Portanto a quantidade que maximiza o lucro quando P=\$16 é Q = 25 unidades (até aqui usamos apenas P=MC).

Passo 6

Checar a condição de fechamento (shutdown): precisamos verificar se P é pelo menos o mínimo do AVC. Calcular o AVC e seu mínimo.
  • AVC é: AVC = \frac{C_V}{Q} = \frac{0,2\,Q^{2} + 6\,Q}{Q} = 0,2\,Q + 6.
  • Observe que AVC é uma função linear crescente de Q com coeficiente angular 0,2>0. Isso significa que o menor valor de AVC ocorre no limite quando Q tende a zero (na prática, \lim_{Q\to 0} AVC = 6). Logo: \min AVC = 6.
  • Como P = 16 > \min AVC = 6, a condição de fechamento não se aplica — a firma deve produzir (não interromper).
Também é útil verificar o AVC exatamente na quantidade Q=25:
AVC(25) = 0,2\cdot25 + 6 = 5 + 6 = 11,
que ainda é menor que P=16, reforçando que produzir é lucrativo comparado a fechar.

Passo 7

Calcular o lucro \pi na quantidade ótima Q=25.
  • Receita total: TR = P\cdot Q = 16 \cdot 25 = 400.
  • Custo total em Q=25: C_T(25) = 0,2\cdot25^{2} + 6\cdot25 + 30.Calcule passo a passo: 25^{2} = 625,
0,2\cdot625 = 125,
6\cdot25 = 150,
C_T(25) = 125 + 150 + 30 = 305.
  • Lucro: \pi = TR - C_T = 400 - 305 = 95.
Então a firma obtém lucro positivo de \$95 produzindo Q=25.

Passo 8

Interpretação final e resposta à parte (c): com lucro positivo, a empresa não deve interromper as operações.
  • Como \pi = \$95 > 0, a firma está cobrindo todos os custos (variáveis e fixos) e ainda tem ganho econômico positivo. No curto prazo não há motivo para fechar; manter a produção é a decisão correta.
  • Relembrando: mesmo se o lucro fosse negativo mas P \ge \min AVC, a empresa produziria para minimizar perdas no curto prazo; só fecha se P < \min AVC.

Resposta

(a) Curto prazo, pois há custo fixo FC = 30 (termo constante em C_T).
(b) Q = 25 unidades.
(c) Lucro = \$95. Não deve interromper as operações (produção deve continuar).

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