30 % dos usuários de uma biblioteca universitária são alunos da graduação, 38 % são alunos da pós e 32 % professores. A consulta a livros estrangeiros é de 25 %, 50 % e 80 % nas três categorias de usuários, respectivamente.
a) Qual é a probabilidade de que um usuário qualquer utilize um livro em português?
b) Se um usuário retirou um livro em português, calcule a probabilidade de que seja aluno da graduação, da pós ou que seja professor.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Enunciado em poucas palavras:
  • 30% dos usuários são de graduação, 38% de pós e 32% professores.
  • A prob. de consultarem livro estrangeiro é 25% (grad), 50% (pós) e 80% (prof).
  • Então, a prob. de livro em português em cada grupo é complementar: 75%, 50% e 20%.
Matéria envolvida:
  1. Teorema da Probabilidade Total (pra achar ê).
  2. Teorema de Bayes (pra achar ê).
O que vamos precisar:
  • Saber que .
  • Saber somar probabilidades ponderadas (prob. total).
  • Saber aplicar a fórmula de Bayes.

Passo 2

Calcular a probabilidade de um usuário qualquer pegar livro em português usando o Teorema da Probabilidade Total:
Seja P(G)=0.30, P(P)=0.38, P(R)=0.32, = graduação, P(Lmid G)=1-0.25=0.75, P(Lmid P)=1-0.50=0.50, P(Lmid R)=1-0.80=0.20 = pós, P(L) = P(G),P(Lmid G)+P(P),P(Lmid P)+P(R),P(Lmid R) = professor, e P(L)=0.30cdot0.75 + 0.38cdot0.50 + 0.32cdot0.20 =0.225 + 0.19 + 0.064 =0.479 = livro em português.
Temos:
Pela prob. total,
Substituindo:

Passo 3

Agora, como o usuário retirou um livro em português, queremos P(Gmid L)=P(G),P(Lmid G)P(L), P(Pmid L)=P(P),P(Lmid P)P(L), P(Rmid L)=P(R),P(Lmid R)P(L) , P(Gmid L)=0.30cdot0.750.479approx0.4697, e P(Pmid L)=0.38cdot0.500.479approx0.3967, .
Usamos Bayes:
P(Rmid L)=0.32cdot0.200.479approx0.1336
Já temos . Então:

Resposta

a) ê (ou 47,9%).
b) Dado que é em português:
  • çãê (46,97%),
  • óê (39,67%),
  • ê (13,36%).

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