Uma fábrica tem 3 máquinas
e
que produzem a mesma peça, sendo que as mesmas respondem por
e
da produção total, respectivamente. Também é conhecida a proporção de peças defeituosas produzidas por cada uma delas:
na
,
na
e
na
.
a) Calcule a percentagem global de peças defeituosas;
b) Se uma peça for defeituosa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela
ou
?
c) Calcule
a) Calcule a percentagem global de peças defeituosas;
b) Se uma peça for defeituosa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela
c) Calcule
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a fábrica tem três máquinas M₁, M₂ e M₃ que produzem, respectivamente, 20 %, 50 % e 30 % do total. Dessas máquinas, eles estragam 15 %, 2 % e 20 % das peças.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Regra da probabilidade total (pra achar a porcentagem global de defeituosas).
- Teorema de Bayes (pra inverter as probabilidades e achar de qual máquina veio, dado que a peça é defeituosa).
- No fim, é só somar algumas probabilidades.
Passo 2
Primeiro vamos achar a porcentagem global de peças defeituosas usando a regra da probabilidade total:
onde
= peça defeituosa. Substituindo:
Ou seja, 10 % das peças saem defeituosas no total.
Passo 3
Agora, se a gente já sabe que a peça é defeituosa, qual a chance de ela ter vindo de M₁, M₂ ou M₃? A gente usa Bayes:
Vamos calcular uma a uma:
- Para M₁:
- Para M₂:
- Para M₃:
Ou seja, 30 % de chance de ter vindo da M₁, 10 % da M₂ e 60 % da M₃.
Passo 4
Por fim, vamos calcular as somas pedidas:
a)
a)
b)
Resposta
a) 10 % das peças são defeituosas no total.
b) Dado que a peça é defeituosa:
• P(M₁∣D) = 30 %
• P(M₂∣D) = 10 %
• P(M₃∣D) = 60 %
c)
•
•
b) Dado que a peça é defeituosa:
• P(M₁∣D) = 30 %
• P(M₂∣D) = 10 %
• P(M₃∣D) = 60 %
c)
•
•