Uma fábrica tem 3 máquinas M1, M2 e M3 que produzem a mesma peça, sendo que as mesmas respondem por 20 %, 50 % e 30 % da produção total, respectivamente. Também é conhecida a proporção de peças defeituosas produzidas por cada uma delas: 15 % na M1, 2 % na M2 e 20 % na M3.
a) Calcule a percentagem global de peças defeituosas;
b) Se uma peça for defeituosa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela M1, M2 ou M3 ?
c) Calcule
sumj=1^3 P( defeituosa / Mj) e sumj=1^3 P(Mj / defeituosa )

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a fábrica tem três máquinas M₁, M₂ e M₃ que produzem, respectivamente, 20 %, 50 % e 30 % do total. Dessas máquinas, eles estragam 15 %, 2 % e 20 % das peças.
Conteúdo que vamos usar:
  • Regra da probabilidade total (pra achar a porcentagem global de defeituosas).
  • Teorema de Bayes (pra inverter as probabilidades e achar de qual máquina veio, dado que a peça é defeituosa).
  • No fim, é só somar algumas probabilidades.

Passo 2

Primeiro vamos achar a porcentagem global de peças defeituosas usando a regra da probabilidade total:
P(D) ;=; sumj=1^3 P(Mj),P(Dmid Mj)
onde P(D) = P(M1)P(D|M1) + P(M2)P(D|M2) + P(M3)P(D|M3) = peça defeituosa. Substituindo:
P(D) = 0.20cdot0.15 + 0.50cdot0.02 + 0.30cdot0.20
P(D) = 0.03 + 0.01 + 0.06 = 0.10
Ou seja, 10 % das peças saem defeituosas no total.

Passo 3

Agora, se a gente já sabe que a peça é defeituosa, qual a chance de ela ter vindo de M₁, M₂ ou M₃? A gente usa Bayes:
P(Mjmid D) = P(Dmid Mj),P(Mj)P(D)
Vamos calcular uma a uma:
  1. Para M₁:
P(M1mid D) = 0.15cdot0.200.10 = 0.030.10 = 0.30
  1. Para M₂:
P(M2mid D) = 0.02cdot0.500.10 = 0.010.10 = 0.10
  1. Para M₃:
P(M3mid D) = 0.20cdot0.300.10 = 0.060.10 = 0.60
Ou seja, 30 % de chance de ter vindo da M₁, 10 % da M₂ e 60 % da M₃.

Passo 4

Por fim, vamos calcular as somas pedidas:
a) 0.15 + 0.02 + 0.20 = 0.37
0.30 + 0.10 + 0.60 = 1.00
b)

Resposta

a) 10 % das peças são defeituosas no total.
b) Dado que a peça é defeituosa:
• P(M₁∣D) = 30 %
• P(M₂∣D) = 10 %
• P(M₃∣D) = 60 %
c)

Exercícios relacionados