Suponha que se testam os chips para um circuito integrado e que a probabilidade de que sejam declarados com falhas quando efetivamente as tem é 0.95 , sendo que a probabilidade de que sejam declarados em bom estado se efetivamente estão em bom estado é 0.97 . Se
dos chips apresentam falhas, qual é a probabilidade de que um chip que foi declarado com falhas seja bom?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado tá pedindo. A ideia é usar probabilidade condicional e, mais especificamente, o Teorema de Bayes pra descobrir isso aqui: “Dado que o chip foi declarado com falha, qual a chance dele ser de boa qualidade?”
O que temos:
O que temos:
- P(declarar falha | chip realmente com falha) = 0.95 (sensibilidade)
- P(declarar bom | chip realmente bom) = 0.97 (especificidade)
- P(chip realmente com falha) = 0.5% = 0.005
A partir disso, vamos precisar também da Lei da Probabilidade Total e do Teorema de Bayes pra inverter a condição.
Passo 2
Primeiro, definimos os eventos e traduzimos em notação:
D = “chip realmente com falha”
Dᶜ = “chip realmente bom”
F = “teste declarou falha”
Então:
D = “chip realmente com falha”
Dᶜ = “chip realmente bom”
F = “teste declarou falha”
Então:
- P(F | D) = 0.95
- P(F | Dᶜ) = 1 – P(declarar bom | Dᶜ) = 1 – 0.97 = 0.03
- P(D) = 0.005
- P(Dᶜ) = 1 – 0.005 = 0.995
Passo 3
Agora, usamos a Lei da Probabilidade Total pra achar P(F), a probabilidade de o teste declarar falha de um chip qualquer:
Substituindo os números:
Passo 4
Por fim, aplicamos o Teorema de Bayes pra achar P(Dᶜ | F), que é “chip bom dado que foi declarado falha”:
Calculando:
Resposta
A probabilidade de um chip declarado com falha ser, na verdade, bom é de aproximadamente 86.2%.