Suponha que se testam os chips para um circuito integrado e que a probabilidade de que sejam declarados com falhas quando efetivamente as tem é 0.95 , sendo que a probabilidade de que sejam declarados em bom estado se efetivamente estão em bom estado é 0.97 . Se 0.5 % dos chips apresentam falhas, qual é a probabilidade de que um chip que foi declarado com falhas seja bom?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado tá pedindo. A ideia é usar probabilidade condicional e, mais especificamente, o Teorema de Bayes pra descobrir isso aqui: “Dado que o chip foi declarado com falha, qual a chance dele ser de boa qualidade?”
O que temos:
  • P(declarar falha | chip realmente com falha) = 0.95 (sensibilidade)
  • P(declarar bom | chip realmente bom) = 0.97 (especificidade)
  • P(chip realmente com falha) = 0.5% = 0.005
    A partir disso, vamos precisar também da Lei da Probabilidade Total e do Teorema de Bayes pra inverter a condição.

Passo 2

Primeiro, definimos os eventos e traduzimos em notação:
D = “chip realmente com falha”
Dᶜ = “chip realmente bom”
F = “teste declarou falha”
Então:
  • P(F | D) = 0.95
  • P(F | Dᶜ) = 1 – P(declarar bom | Dᶜ) = 1 – 0.97 = 0.03
  • P(D) = 0.005
  • P(Dᶜ) = 1 – 0.005 = 0.995

Passo 3

Agora, usamos a Lei da Probabilidade Total pra achar P(F), a probabilidade de o teste declarar falha de um chip qualquer:
P(F) ;=; P(F|D),P(D);+;P(F|D^c),P(D^c)
Substituindo os números:
P(F) = (0.95)(0.005) + (0.03)(0.995) = 0.00475 + 0.02985 = 0.0346

Passo 4

Por fim, aplicamos o Teorema de Bayes pra achar P(Dᶜ | F), que é “chip bom dado que foi declarado falha”:
P(D^cmid F) =P(Fmid D^c),P(D^c)P(F) =0.03 times 0.9950.0346
Calculando:
P(D^cmid F) =0.029850.0346approx 0.862

Resposta

A probabilidade de um chip declarado com falha ser, na verdade, bom é de aproximadamente 86.2%.

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