[30pts] Resolva as seguintes EDO’s de primeira ordem e em cada uma diga qual foi o método utilizado para resolver tal EDO.
y^prime+y^2 senh(x)=0, onde senh(z)=e^z-e^-z2, cosh (z)=e^z+e^-z2, forall z in R.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
dydx + y^2sinh(x) = 0
Esse tipo de equação é do tipo variáveis separáveis, pois podemos escrever uma parte apenas em y e outra apenas em x.

Passo 2

Reescrevendo a equação isolando dydx e separando variáveis, temos
dydx = -,y^2sinh(x) Longrightarrow 1y^2,dy = -,sinh(x),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral 1y^2,dy = -integral sinh(x),dx

Passo 4

Calculando as integrais:
integral y^-2,dy = -,y^-1, integral sinh(x),dx = cosh(x)
Logo
-,1y = -,cosh(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos
1y = cosh(x) + C',
com C' = -C. Portanto a solução geral é
y(x) = 1cosh(x) + C'
O método utilizado foi o de variáveis separáveis.

Resposta

y(x) = 1cosh(x) + C,
onde C é constante de integração.

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