Verifique usando indução matemática:
sumk=1^n k^3=(n(n+1)2)^2

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
sumk=1^nk^3 = l(n(n+1)2r)^2
Aqui o conteúdo é o princípio da indução: primeiro checar o caso base, depois assumir que vale para um n arbitrário (hipótese de indução) e então mostrar que isso implica que vale para n+1.

Passo 2

Caso base ( n=1):
sumk=1^1k^3 = 1^3 = 1,
e
l(1cdot(1+1)2r)^2 = l(22r)^2 = 1^2 = 1
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n>=1 valha
sumk=1^nk^3 = l(n(n+1)2r)^2

Passo 4

Passo indutivo: precisamos mostrar que
sumk=1^n+1k^3 = sumk=1^nk^3 ;+;(n+1)^3
satisfaz
sumk=1^n+1k^3 = l((n+1)(n+2)2r)^2
Usando a hipótese de indução,
sumk=1^n+1k^3 = l(n(n+1)2r)^2 + (n+1)^3
Fatorando (n+1)^2,
l(n(n+1)2r)^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2l(n^24 + (n+1)r) = (n+1)^2,n^2 + 4n + 44 = (n+1)^2,(n+2)^24 = l((n+1)(n+2)2r)^2
Portanto, se vale para n, vale para n+1.

Passo 5

Concluímos que a fórmula é verdadeira para n=1 e que, sempre que vale para n, vale para n+1. Pelo princípio da indução matemática, ela vale para todo ninN.

Resposta

A identidade
sumk=1^nk^3 = l(tfracn(n+1)2r)^2
é válida para todo ninN.

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