Verifique usando indução matemática:
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
Aqui o conteúdo é o princípio da indução: primeiro checar o caso base, depois assumir que vale para um
arbitrário (hipótese de indução) e então mostrar que isso implica que vale para
.
Passo 2
Caso base (
):
e
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Passo 4
Passo indutivo: precisamos mostrar que
satisfaz
Usando a hipótese de indução,
Fatorando
,
Portanto, se vale para
, vale para
.
Passo 5
Concluímos que a fórmula é verdadeira para
e que, sempre que vale para
, vale para
. Pelo princípio da indução matemática, ela vale para todo
.
Resposta
A identidade
é válida para todo
.