31-32 Encontre os ângulos agudos entre as curvas nos seus pontos de intersecção. ( O ângulo entre as duas curvas é o ângulo entre as suas retas tangentes no ponto de intersecção.)
31. y=x^2, y=x^3
32. y=sen x, y=cos x, 0 <= x <= pi / 2

Passo 1

Estamos buscando o ângulo agudo entre duas curvas no ponto de interseção, que é o mesmo ângulo entre as retas tangentes a elas nesse ponto. Para isso:
– Encontramos o(s) ponto(s) de interseção resolvendo as equações das curvas.
– Calculamos as derivadas y'1 e y'2 de cada curva e avaliamos no ponto de interseção para obter as inclinações m1 e m2.
– Usamos a fórmula
tantheta = l|m2 - m11 + m1 m2r|
para achar o ângulo theta.

Passo 2

Problema 31: y=x^2 e y=x^3.
Interseções:
x^2 = x^3 ;Longrightarrow; x^3 - x^2 = 0 ;Longrightarrow; x^2(x - 1)=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=1
Derivadas:
y'1 = 2x, y'2 = 3x^2

Passo 3

Em x=0:
m1 = 2cdot0 = 0, m2 = 3cdot0^2 = 0
as tangentes coincidem (ambas horizontais), logo theta=0.
Em x=1:
m1 = 2cdot1 = 2, m2 = 3cdot1^2 = 3
Aplicando a fórmula,
tantheta = l|3 - 21 + 2cdot3r| = 17,
logo
theta = arctan!l(tfrac17r)

Passo 4

Problema 32: y=sin x e y=cos x em [0,tfracpi2].
Interseção:
sin x = cos x ;Longrightarrow; tan x = 1 ;Longrightarrow; x = tfracpi4
Derivadas:
y'1 = cos x, y'2 = -sin x

Passo 5

Em x=tfracpi4:
m1 = cos!l(tfracpi4r) = tfracraiz22, m2 = -sin!l(tfracpi4r) = -tfracraiz22
Então
tantheta = l|-tfracraiz22-tfracraiz221 + tfracraiz22l(-tfracraiz22r)r| = l|-raiz21 - tfrac12r| = raiz2tfrac12 = 2raiz2,
portanto
theta = arctan!l(2raiz2r)

Resposta

  1. Nos pontos de interseção x=0 e x=1:
    – Para x=0: theta=0.
    – Para x=1: theta = arctan!l(tfrac17r).
  2. No ponto x=tfracpi4: theta = arctan!l(2raiz2r).

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