As equações parametricas da elipse são
l x=h+acos(t) y=k+bsen(t) com 0 <= t <= 2 pi
onde ( h, k ) são as coordenadas da translação.
Dada a elipse de equação 9 x^2+4 y^2-54 x+16 y+61=0, escrever suas equações paramétricas Rpta:
l x=3+2 cos (t) y=-2+3 sen(t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as equações paramétricas
x = h + acos(t) y = k + bsen(t) 0 <= t <= 2pi
da elipse dada pela equação geral
9x^2 + 4y^2 - 54x + 16y + 61 = 0
Vamos precisar completar o quadrado em x e em y, colocar na forma padrão
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
e daí ler h, k, a e b.

Passo 2

Agrupamos e completamos o quadrado:
9x^2 - 54x + 4y^2 + 16y + 61 = 0 ;Longrightarrow; 9l(x^2 - 6xr) + 4l(y^2 + 4yr) + 61 = 0
Agora
x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9, y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4
Substituindo:
9l((x-3)^2 - 9r) + 4l((y+2)^2 - 4r) + 61 = 0
9(x-3)^2 - 81 + 4(y+2)^2 - 16 + 61 = 0
9(x-3)^2 + 4(y+2)^2 - 36 = 0
9(x-3)^2 + 4(y+2)^2 = 36

Passo 3

Dividindo por 36 para obter a forma padrão:
(x-3)^24 + (y+2)^29 = 1
Dessa forma, o centro é (h,k) = (3,-2), os semi-eixos são
a = raiz4 = 2, b = raiz9 = 3

Passo 4

Bast<a> parametrizar com os cosenos e senos:
x = 3 + 2cos(t), y = -2 + 3sen(t), 0 <= t <= 2pi

Resposta

x = 3 + 2cos(t), y = -2 + 3sen(t), 0 <= t <= 2pi

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