Determinar a equação da hipérbole passando por ( 6,2 ), centro na origem, eixo transverso sobre o eixo X e uma assíntota sendo a reta L: 2 x-5 y=0 (Rpta: 4 x^2-25 y^2=44 ).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole com centro na origem, eixo transverso sobre o eixo x, ou seja do tipo
x^2a^2;-;y^2b^2;=;1,
e diz que uma das assíntotas é a reta L:2x-5y=0. Como a assíntota dessa forma satisfaz y=pmba,x, vamos usar isso para relacionar a e b.

Passo 2

Da equação 2x-5y=0 segue
y=25,x,
ou seja o coeficiente angular é 25. Como nas hipérboles com eixo transverso em x vale
assíntotes: y=pmba,x, í
temos
ba=25 Longrightarrow b=25,a Longrightarrow b^2=425,a^2

Passo 3

A hipérbole deve passar pelo ponto (6,2). Substituindo em
dfracx^2a^2-dfracy^2b^2=1 obtemos
6^2a^2;-;2^2b^2 ;=;1
Como b^2=tfrac425a^2, temos também tfrac1b^2=tfrac254,tfrac1a^2. Logo

Passo 4

36a^2 ;-; 4;cdot;254,1a^2 ;=; 1 Longrightarrow 36a^2-25a^2=1 Longrightarrow 11a^2=1 Longrightarrow a^2=11
Logo
b^2=425,a^2=425cdot11=4425

Passo 5

A equação da hipérbole fica
x^211;-;y^244/25=1
Para deixá-la num forma inteira, note que tfracy^244/25=tfrac25,y^244. Multiplicando ambos os lados por 44
4,x^2 ;-;25,y^2 ;=;44

Resposta

A equação procurada é
4,x^2 ;-;25,y^2 ;=;44

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