Determinar a equação da elipse sabendo que os vértices são os pontos (1,-6) e(9,-6) e o lado reto mede 9 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujo eixo maior é horizontal, pois os vértices estão em (1,-6) e (9,-6). Precisamos encontrar o centro, o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b. O enunciado também dá o comprimento do lado reto (latus rectum), que em elipse horizontal vale
ell = 2b^2a

Passo 2

O centro (h,k) é o ponto médio dos vértices (1,-6) e (9,-6):
h = 1+92 = 5, k = -6 + (-6)2 = -6
O semi-eixo maior a é a distância do centro a um vértice em x:
a = 9 - 5 = 4

Passo 3

O lado reto fornecido é ell = tfrac92. Sabendo que
ell = 2b^2a,
substituímos ell=tfrac92 e a=4 para achar b^2:
92 = 2b^24 ;Longrightarrow; 92 = b^22 ;Longrightarrow; b^2 = 9

Passo 4

A equação da elipse com centro em (h,k)=(5,-6), semi-eixo maior a=4 e semi-eixo menor b=3 (pois b^2=9) é
(x-5)^216 + (y+6)^29 = 1

Resposta

(x-5)^216 + (y+6)^29 = 1

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