31^circ ) Determine a derivada de z=ln xy no ponto P(12,-13), na direção v=3 i-4 j.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de z=lnxy no ponto Pl(tfrac12,-tfrac13r) na direção do vetor vec v=(3,-4). Para resolver vamos usar o gradiente de z e depois projetar esse gradiente numa direção unitária obtida a partir de vec v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z=ln x - ln y:
partial zpartial x=1x, partial zpartial y=-1y

Passo 3

Avaliando em Pl(x,yr)=l(tfrac12,-tfrac13r) temos
partial zpartial x|P =1tfrac12=2, partial zpartial y|P =-1-tfrac13=3
Logo nabla z(P)=(2,3).

Passo 4

O vetor de direção unitário em relação a vec v=(3,-4) é
u =vec v|vec v| =(3,-4)raiz3^2+(-4)^2 =l(35,-45r)

Passo 5

A derivada direcional de z em P na direção de vec v é
D uz(P) =nabla z(P)cdot u =2cdot35+3cdotl(-45r) =-65

Resposta

-tfrac65

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