Questão 2. Calcule as derivadas parciais fx(x, y) e fy(x, y) no ponto (x0, y0).
f(x, y)=x y ln (yx)+ln (2 x-3 y)^2 em (1,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais fx(x,y) e fy(x,y) da função
f(x,y)=x,y,ln!l(tfracyxr)+lnl(2x-3yr)^2
no ponto (1,1). Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando em relação a x:
Para o termo xyln!tfracyx escrevemos
xyln!tfracyx =xyln y - xyln x
e então
partialpartial xl(xyln!tfracyxr) =yln y -l(yln x + yr) =yl(ln!tfracyx-1r)
Para o termo ln(2x-3y)^2 aplicamos a cadeia:
partialpartial xln(2x-3y)^2 =1(2x-3y)^2cdot 2(2x-3y)cdot 2 =42x-3y
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fx(x,y) =yl(ln!tfracyx-1r) +42x-3y

Passo 3

Avaliar fx em (1,1):
fx(1,1) =1l(ln1-1r) +42-3 =-1-4 =-5

Passo 4

Derivando em relação a y:
Para xyln!tfracyx=xyln y - xyln x temos
partialpartial yl(xyln!tfracyxr) =xl(ln y +1r) -xln x =xl(ln!tfracyx+1r)
Para ln(2x-3y)^2 pela cadeia:
partialpartial yln(2x-3y)^2 =1(2x-3y)^2cdot 2(2x-3y)cdot(-3) =-62x-3y
Assim
fy(x,y) =xl(ln!tfracyx+1r) -62x-3y

Passo 5

Avaliar fy em (1,1):
fy(1,1) =1l(0+1r) -62-3 =1+6 =7

Resposta

fx(1,1)=-5, fy(1,1)=7

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