Questão 2. Calcule as derivadas parciais fx(x, y) e fy(x, y) no ponto (x0, y0).
f(x, y)=(x-2 y)^2+(y-3 x)^2+5 em(0,-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y) = (x - 2y)^2 + (y - 3x)^2 + 5
no ponto (x0,y0)=(0,-1). Vamos usar a definição de derivada parcial (tratando uma variável como constante) e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para fx(x,y), derivamos cada termo em relação a x:
partialpartial x(x - 2y)^2 = 2(x - 2y)cdotpartialpartial x(x - 2y) = 2(x - 2y)cdot1,
partialpartial x(y - 3x)^2 = 2(y - 3x)cdotpartialpartial x(y - 3x) = 2(y - 3x)cdot(-3)
Somando esses resultados (e lembrando que a derivada de 5 é zero), obtemos
fx(x,y) = 2(x - 2y) - 6(y - 3x) = 20x - 10y

Passo 3

Para fy(x,y), derivamos cada termo em relação a y:
partialpartial y(x - 2y)^2 = 2(x - 2y)cdotpartialpartial y(x - 2y) = 2(x - 2y)cdot(-2) = -4(x - 2y),
partialpartial y(y - 3x)^2 = 2(y - 3x)cdotpartialpartial y(y - 3x) = 2(y - 3x)cdot1
Somando e zerando o termo constante, fica
fy(x,y) = -4(x - 2y) + 2(y - 3x) = -10x + 10y

Passo 4

Agora avaliamos as parciais em (0,-1):
fx(0,-1) = 20cdot0 - 10cdot(-1) = 10
fy(0,-1) = -10cdot0 + 10cdot(-1) = -10

Resposta

fx(0,-1) = 10, fy(0,-1) = -10

Exercícios relacionados