4.34 Dado o campo elétrico
determine o potencial elétrico no ponto
em relação ao ponto
, sendo que
está em +2 m e
em -4 m , ambos no eixo
.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico
e pede o potencial elétrico no ponto
em relação ao ponto
. As posições são informadas no eixo
:
-
está em . -
está em .
Aqui as informações relevantes são:
-
é a distância radial ao centro (origem); para um ponto sobre o eixo vale . -
é o versor radial: sobre o eixo ele aponta para quando e para quando . - O objetivo é encontrar
, ou seja o potencial em relativo a .
Passo 2
Calcular as distâncias radiais dos pontos (pegando esses valores do enunciado):
Explicando devagar: o campo dado depende só de
(módulo da posição em relação à origem) e aponta radialmente. Portanto o módulo do campo em um ponto a distância
da origem é
.
Passo 3
Lembrando o conceito de potencial elétrico: a diferença de potencial entre dois pontos é
onde
é o elemento de comprimento ao longo do caminho (vetor deslocamento). Para um campo central que depende só de
e aponta radialmente, esse integral é independente do caminho (desde que o caminho não passe pela singularidade em
). Assim podemos definir uma função escalar
tal que
(válido para
).
Uma forma prática é escolher a referência
e calcular
por
Tomando um deslocamento radial
(direção radial crescente) e usando
, temos
Passo 4
Calculemos o integral passo a passo (não pule etapas):
Aplicando o sinal negativo da definição de
:
Portanto, com a escolha
, a expressão do potencial (válida para
) é
Aqui explicando as variáveis:
está em metros, o numerador
tem unidades tais que
fica em volts.
Passo 5
Agora substituímos
e
que calculamos no Passo 2:
Passo 6
Finalmente, a diferença de potencial pedida é
Observação didática curta (útil para a prova): mesmo que
e
estejam em lados opostos do eixo
, o potencial depende apenas de
porque o campo é central e só depende de
; a singularidade em
existe, mas tanto
quanto
têm
, então
está bem definida nesses pontos.