4.34 Dado o campo elétrico
\mathbf{E}=\hat{\mathbf{R}} \frac{12}{R^{2}} \quad(\mathrm{~V} / \mathrm{m})
determine o potencial elétrico no ponto A em relação ao ponto B, sendo que A está em +2 m e B em -4 m , ambos no eixo z.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico
\mathbf{E}=\hat{\mathbf{R}}\frac{12}{R^{2}}\quad(\mathrm{V}/\mathrm{m})
e pede o potencial elétrico no ponto A em relação ao ponto B. As posições são informadas no eixo z:
  • A está em z=+2\\ \mathrm{m}.
  • B está em z=-4\\ \mathrm{m}.
Aqui as informações relevantes são:
  • R é a distância radial ao centro (origem); para um ponto sobre o eixo z vale R=|z|.
  • \hat{\mathbf{R}} é o versor radial: sobre o eixo z ele aponta para +\hat{\mathbf{z}} quando z>0 e para -\hat{\mathbf{z}} quando z<0.
  • O objetivo é encontrar V(A)-V(B), ou seja o potencial em A relativo a B.

Passo 2

Calcular as distâncias radiais dos pontos (pegando esses valores do enunciado):
R_A=|z_A|=|+2|=2\\ \mathrm{m}, \qquad R_B=|z_B|=|-4|=4\\ \mathrm{m}.
Explicando devagar: o campo dado depende só de R (módulo da posição em relação à origem) e aponta radialmente. Portanto o módulo do campo em um ponto a distância R da origem é \dfrac{12}{R^{2}}.

Passo 3

Lembrando o conceito de potencial elétrico: a diferença de potencial entre dois pontos é
V(A)-V(B)=-\int_{B}^{A}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell},
onde d\boldsymbol{\ell} é o elemento de comprimento ao longo do caminho (vetor deslocamento). Para um campo central que depende só de R e aponta radialmente, esse integral é independente do caminho (desde que o caminho não passe pela singularidade em R=0). Assim podemos definir uma função escalar V(R) tal que \mathbf{E}=-\nabla V (válido para R>0).
Uma forma prática é escolher a referência V(\infty)=0 e calcular V(R) por
V(R)=-\int_{\infty}^{R}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
Tomando um deslocamento radial d\boldsymbol{\ell}=dR'\,\hat{\mathbf{R}} (direção radial crescente) e usando \mathbf{E}=\hat{\mathbf{R}}\dfrac{12}{R'^{2}}, temos
V(R)=-\int_{\infty}^{R}\frac{12}{R'^{2}}\,dR'.

Passo 4

Calculemos o integral passo a passo (não pule etapas):
\int_{\infty}^{R}\frac{12}{R'^{2}}\,dR' = \left[-\frac{12}{R'}\right]_{\infty}^{R} = -\frac{12}{R} - \left( -\frac{12}{\infty}\right) = -\frac{12}{R} - 0 = -\frac{12}{R}.
Aplicando o sinal negativo da definição de V(R):
V(R) = -\left(-\frac{12}{R}\right)=\frac{12}{R}.
Portanto, com a escolha V(\infty)=0, a expressão do potencial (válida para R>0) é
V(R)=\frac{12}{R}\quad(\mathrm{V}).
Aqui explicando as variáveis: R está em metros, o numerador 12 tem unidades tais que V(R) fica em volts.

Passo 5

Agora substituímos R_A e R_B que calculamos no Passo 2:
V(A)=V(R_A)=\frac{12}{R_A}=\frac{12}{2}=6\\ \mathrm{V}, \qquad V(B)=V(R_B)=\frac{12}{R_B}=\frac{12}{4}=3\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Finalmente, a diferença de potencial pedida é
V(A)-V(B)=6\\ \mathrm{V}-3\\ \mathrm{V}=3\\ \mathrm{V}.
Observação didática curta (útil para a prova): mesmo que A e B estejam em lados opostos do eixo z, o potencial depende apenas de R=|z| porque o campo é central e só depende de R; a singularidade em R=0 existe, mas tanto A quanto B têm R>0, então V(R) está bem definida nesses pontos.

Resposta

\;V(A)-V(B)=3\\ \mathrm{V}

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