(31) Determine:
(a) se u=(1,1,1), w=(1,2,3) e v=(2,-1,1) formam uma base para o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}.
(b) se u=(1,1,1,1), w=(1,2,3,2), v=(2,5,6,4) e t=(2,6,8,5) formam uma base para o espaço vetorial \mathbb{R}^{4}.
Passo 1
O enunciado pede duas verificações de base:
(a) Verificar se os vetores u=(1,1,1), w=(1,2,3) e v=(2,-1,1) formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) Verificar se os vetores u=(1,1,1,1), w=(1,2,3,2), v=(2,5,6,4) e t=(2,6,8,5) formam uma base de \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas (retomando explicitamente):
Para (a): três vetores em \mathbb{R}^{3}: u=(1,1,1), w=(1,2,3), v=(2,-1,1).
Para (b): quatro vetores em \mathbb{R}^{4}: u=(1,1,1,1), w=(1,2,3,2), v=(2,5,6,4), t=(2,6,8,5).
O que se pede em cada item: dizer se o conjunto de vetores forma uma base do espaço indicado (sim ou não).
Passo 2
Conceito e critério prático (explicando com calma).
Um conjunto de vetores forma uma base de \mathbb{R}^{n} se e somente se:
os vetores são linearmente independentes; e
existem exatamente n vetores (ou seja, então eles também geram \mathbb{R}^{n}).
Para n vetores em \mathbb{R}^{n} (caso aqui em (a) e (b)) basta testar a independência linear. Um teste prático é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e verificar se o determinante (quando a matriz é quadrada) é diferente de zero; se o determinante ≠ 0, eles são independentes. Outra maneira é mostrar explicitamente que não existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero.
Definição de independência linear (rápida): os vetores v_1,\dots,v_k são linearmente independentes se a única solução da equação \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Se existir uma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes.
Agora aplicamos esses critérios nos dois itens.
Passo 3
Item (a): montar a matriz com os vetores como colunas. A matriz A (colunas u,w,v) é
Como \det(A)=5\neq 0, as colunas de A (isto é, u,w,v) são linearmente independentes.
São três vetores em \mathbb{R}^{3} e são independentes, portanto formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 6
Item (b): vamos tentar detectar independência ou dependência. Em vez de calcular um determinante 4×4, é muitas vezes mais simples procurar uma combinação linear explícita. Vou comparar diferenças de vetores porque isso às vezes revela relações simples.
Calcule w-u e t-v:
w-u=(1,2,3,2)-(1,1,1,1)=(0,1,2,1).
t-v=(2,6,8,5)-(2,5,6,4)=(0,1,2,1).
Passo 7
Extrapolando a observação:
Observou-se que w-u=(0,1,2,1) e t-v=(0,1,2,1). Portantow-u=t-v.
Reorganizando essa igualdade:t - v - w + u = 0.
Isto é uma combinação linear não trivial dos vetores u,w,v,t que dá o vetor zero: escolha coeficientes \alpha_u=1, \alpha_w=-1, \alpha_v=-1, \alpha_t=1 e obtemos
1\cdot u + (-1)\cdot w + (-1)\cdot v + 1\cdot t = 0.
Como existe uma combinação linear com coeficientes nem todos nulos que produz o zero, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 8
Conclusão do item (b):
Os quatro vetores em \mathbb{R}^{4} são linearmente dependentes (acima foi exibida explicitamente a relação linear não trivial).
Logo eles não podem ser uma base de \mathbb{R}^{4} (pois uma base de \mathbb{R}^{4} precisa de 4 vetores independentes).
Resposta
(a) Sim — u,w,v formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) Não — u,w,v,t não formam uma base de \mathbb{R}^{4}.