(31) Determine:
(a) se u=(1,1,1), w=(1,2,3) e v=(2,-1,1) formam uma base para o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}.
(b) se u=(1,1,1,1), w=(1,2,3,2), v=(2,5,6,4) e t=(2,6,8,5) formam uma base para o espaço vetorial \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede duas verificações de base:
  • (a) Verificar se os vetores u=(1,1,1), w=(1,2,3) e v=(2,-1,1) formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
  • (b) Verificar se os vetores u=(1,1,1,1), w=(1,2,3,2), v=(2,5,6,4) e t=(2,6,8,5) formam uma base de \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas (retomando explicitamente):
  • Para (a): três vetores em \mathbb{R}^{3}: u=(1,1,1), w=(1,2,3), v=(2,-1,1).
  • Para (b): quatro vetores em \mathbb{R}^{4}: u=(1,1,1,1), w=(1,2,3,2), v=(2,5,6,4), t=(2,6,8,5).
O que se pede em cada item: dizer se o conjunto de vetores forma uma base do espaço indicado (sim ou não).

Passo 2

Conceito e critério prático (explicando com calma).
  • Um conjunto de vetores forma uma base de \mathbb{R}^{n} se e somente se:
    1. os vetores são linearmente independentes; e
    2. existem exatamente n vetores (ou seja, então eles também geram \mathbb{R}^{n}).
  • Para n vetores em \mathbb{R}^{n} (caso aqui em (a) e (b)) basta testar a independência linear. Um teste prático é montar a matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores e verificar se o determinante (quando a matriz é quadrada) é diferente de zero; se o determinante ≠ 0, eles são independentes. Outra maneira é mostrar explicitamente que não existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero.
  • Definição de independência linear (rápida): os vetores v_1,\dots,v_k são linearmente independentes se a única solução da equação \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Se existir uma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes.
Agora aplicamos esses critérios nos dois itens.

Passo 3

Item (a): montar a matriz com os vetores como colunas. A matriz A (colunas u,w,v) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Para três vetores em \mathbb{R}^{3} podemos calcular o determinante de A. Se \det(A)\neq 0, então os vetores são independentes e formam base.]

Passo 4

Calcular \det(A) por expansão na primeira linha (explico cada termo).
Usando a fórmula de cofactores para a primeira linha:
\det(A)=a_{11}\,(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}\,(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}\,(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui a_{11}=1, a_{12}=1, a_{13}=2; a_{21}=1, a_{22}=2, a_{23}=-1; a_{31}=1, a_{32}=3, a_{33}=1. Substituindo e computando cada menor:
  • Primeiro termo: a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})=1\cdot(2\cdot1-(-1)\cdot3)=1\cdot(2+3)=5.
  • Segundo termo: -a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})=-1\cdot(1\cdot1-(-1)\cdot1)=-1\cdot(1+1)=-2.
  • Terceiro termo: a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=2\cdot(1\cdot3-2\cdot1)=2\cdot(3-2)=2.
Somando os termos:
\det(A)=5-2+2=5.

Passo 5

Interpretação do resultado de (a):
  • Como \det(A)=5\neq 0, as colunas de A (isto é, u,w,v) são linearmente independentes.
  • São três vetores em \mathbb{R}^{3} e são independentes, portanto formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 6

Item (b): vamos tentar detectar independência ou dependência. Em vez de calcular um determinante 4×4, é muitas vezes mais simples procurar uma combinação linear explícita. Vou comparar diferenças de vetores porque isso às vezes revela relações simples.
Calcule w-u e t-v:
w-u=(1,2,3,2)-(1,1,1,1)=(0,1,2,1).
t-v=(2,6,8,5)-(2,5,6,4)=(0,1,2,1).

Passo 7

Extrapolando a observação:
  • Observou-se que w-u=(0,1,2,1) e t-v=(0,1,2,1). Portanto w-u=t-v.
  • Reorganizando essa igualdade: t - v - w + u = 0.
Isto é uma combinação linear não trivial dos vetores u,w,v,t que dá o vetor zero: escolha coeficientes \alpha_u=1, \alpha_w=-1, \alpha_v=-1, \alpha_t=1 e obtemos
1\cdot u + (-1)\cdot w + (-1)\cdot v + 1\cdot t = 0.
Como existe uma combinação linear com coeficientes nem todos nulos que produz o zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 8

Conclusão do item (b):
  • Os quatro vetores em \mathbb{R}^{4} são linearmente dependentes (acima foi exibida explicitamente a relação linear não trivial).
  • Logo eles não podem ser uma base de \mathbb{R}^{4} (pois uma base de \mathbb{R}^{4} precisa de 4 vetores independentes).

Resposta

(a) Sim — u,w,v formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) Não — u,w,v,t não formam uma base de \mathbb{R}^{4}.

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